《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 某种商品每件的进价为$10$元，若每件按$20$元的价格销售，则每月能卖出$360$件；若每件按$30$元的价格销售，则每月能卖出$60$件.假定每月的销售件数$y$(件)是销售价格$x$(元)的一次函数.
(1)求$y$关于$x$的一次函数表达式.
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？请求此最大利润.

答案： 7.解：
(1)设$y = kx + b$，把$x = 20$，$y = 360$和$x = 30$，
$y = 60$代入，可得$\begin{cases}20k + b = 360,\\30k + b = 60.\end{cases}$解得：$\begin{cases}k = - 30,\\b = 960.\end{cases}$
$\therefore y = - 30x + 960(10\leqslant x\leqslant32)$．
(2)设每月所获的利润为$W$元，$\therefore W = (- 30x + 960)(x -$
$10)= - 30(x - 32)(x - 10)= - 30(x^{2}-42x + 320)=$
$- 30(x - 21)^{2}+3630.\therefore$当$x = 21$时，$W$有最大值，最大值为
$3630$．

8. 某企业投入$60$万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量$y$(万件)与售价$x$(元/件)之间满足函数表达式$y = 24 - x$，第一年除$60$万元外其他成本为$8$元/件.
(1)求该产品第一年的利润$w$(万元)与售价$x$(元/件)之间的函数表达式.
(2)该产品第一年利润为$4$万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降$2$元/件.
①求该产品第一年的售价.
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过$13$万件，则第二年利润最少是多少万元？

答案： 8.解：
(1)根据题意，得$w = (x - 8)(24 - x) - 60 = - x^{2}+32x$
$-252$．
(2)①$\because$该产品第一年利润为$4$万元，
$\therefore 4 = - x^{2}+32x - 252$，解得：$x = 16$．
答：该产品第一年的售价是$16$元/件．
②$\because$第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过$13$
万件，$\therefore\begin{cases}x\leqslant16,\\24 - x\leqslant13,\end{cases}$解得$11\leqslant x\leqslant16$．
设第二年利润是$w'$万元，
$w' = (x - 6)(24 - x) - 4 = - x^{2}+30x - 148$，
$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 15$，
又$11\leqslant x\leqslant16$，$\therefore x = 11$时，$w'$有最小值，
最小值为$(11 - 6)×(24 - 11) - 4 = 61$(万元)．
答：第二年的利润至少为$61$万元．