《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

1.如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$\angle ADE = \angle EFC$，$AD:BD = 5:3$，$CF = 6$，则$DE$的长为10.

答案： 1.10

2.如图，在$\triangle ABC$中，$BD$，$CE$分别是$AC$，$AB$边上的高，$BD$，$CE$交于点$O$，求证：$\triangle ACB \backsim \triangle AED$.

答案： 2.证明：
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BEC = ∠BDC，
∵∠BOE = ∠COD，
∴∠ABD = ∠ACE，
∵∠A = ∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}，$
∵∠A = ∠A，
∴△ABC∽△ADE。

3.在平面直角坐标系中，四边形$OABC$是边长为$2$的正方形，顶点$A$，$C$分别在$x$，$y$轴的正半轴上.点$Q$在对角线$OB$上，且$QO = OC$，连结$CQ$并延长$CQ$交边$AB$于点$P$，则点$P$的坐标为$(2,4 - 2\sqrt{2})$.

答案： $3.(2,4 - 2\sqrt{2})$

4.如图，在平行四边形$ABCD$中，$N$为$BA$延长线上一点，$CN$分别交$BD$，$AD$于点$E$，$F$.
(1)请找出一对相似的三角形并证明.
(2)已知$BE = 2ED$，若$CN = kEF$，求$k$的值.

答案： 4.解：
(1)答案不唯一，
比如△DEF∽△BEC，证明如下：
∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠FDE = ∠EBC，
∠DFE = ∠BCE，
∴△DEF∽△BEC。
(2)易证△DEF∽△BEC，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{FE}{CE}，$
∵BE = 2ED，
∴CE = 2FE，设FE = m，则CE = 2m，
又易证△DCE∽△BNE，
∴$\frac{CE}{NE}=\frac{DE}{BE}，$
∵BE = 2DE，
∴NE = 2CE，
∴NE = 4m，
∴CN = 6m，
∴CN = 6EF，即k = 6。