《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $ y=x^{2}+2x-1 $ 先绕原点旋转 $ 180° $，再向下平移 5 个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是(1,-3).

答案： 7.$(1,-3)$

8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $ y=ax^{2}+bx+3(a≠0) $ 的图象经过点 $ A(-1,0) $，点 $ B(3,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $.

（1）求 $ a,b $ 的值.
（2）若点 $ P $ 为直线 $ BC $ 上一点，点 $ P $ 到 $ A,B $ 两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点 $ P $，求新抛物线的顶点坐标.

答案： 8.解：
(1)$a=-1$，$b=2$。
(2)抛物线的对称轴为直线$x=1$，$C(3,0)$，$\because$点$P$到$A$，$B$两点的距离相等，$\therefore$点$P$在抛物线的对称轴$x=1$上，
$\because B(3,0)$，$C(0,3)$，$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-x + 3$，令$x=1$，则$y=-1 + 3=2$，$\therefore P(1,2)$，
设平移后的新抛物线的解析式为$y=-(x - h)^{2}+4$，
$\because$新抛物线经过点$P$，$\therefore2=-(1 - h)^{2}+4$，
解得$h_{1}=1+\sqrt{2}$，$h_{2}=1-\sqrt{2}$，
$\therefore$新抛物线的顶点坐标为$(1+\sqrt{2},4)$或$(1-\sqrt{2},4)$。

9. 如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是坐标原点，点 $ A $ 的坐标是 $ (-2,4) $，过点 $ A $ 作 $ AB⊥y $ 轴，垂足为 $ B $，连结 $ OA $.

（1）求 $ \triangle OAB $ 的面积.
（2）若抛物线 $ y=-x^{2}-2x+c $ 经过点 $ A $.
① 求 $ c $ 的值.
② 将抛物线向下平移 $ m $ 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 $ \triangle OAB $ 的内部（不包括 $ \triangle OAB $ 的边界），求 $ m $ 的取值范围.

答案： 9.解：
(1)$\because$点$A$的坐标是$(-2,4)$，$AB\perp y$轴，
$\therefore AB = 2$，$OB = 4$，$\therefore\triangle OAB$的面积为$4$。
(2)①把点$A$的坐标$(-2,4)$代入$y=-x^{2}-2x + c$中，
得$-(-2)^{2}-2×(-2)+c=4$，$\therefore c=4$。
②$\because y=-x^{2}-2x + 4=-(x + 1)^{2}+5$，
$\therefore$抛物线顶点$D$的坐标是$(-1,5)$。
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$交$AO$于点$F$，
$AB$的中点$E$的坐标是$(-1,4)$，
$OA$的中点$F$的坐标是$(-1,2)$，
$\therefore m$的取值范围是$1＜m＜3$。