《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 已知锐角$\angle AOB$如图.
(1)在射线$OA$上取一点$C$，以点$O$为圆心，$OC$长为半径作$\overset{\frown} {PQ}$，交射线$OB$于点$D$，连结$CD$.
(2)分别以点$C$，$D$为圆心，$CD$长为半径作弧，交$\overset{\frown} {PQ}$于点$M$，$N$.
(3)连结$OM$，$ON$，$MN$.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是 (D)

A.$\angle COM=\angle COD$
B.若$OM=MN$，则$\angle AOB=20^{\circ}$
C.$MN// CD$
D.$MN=3CD$

答案： 7.D

8. 如图所示，在$\odot O$中，$AB$，$CD$是弦，$E$，$F$是$AB$，$CD$的中点，并且$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
(1)求证：$\angle AEF=\angle CFE$.
(2)若$\angle EOF=120^{\circ}$，$OE=4\ cm$，求$EF$的长.

答案： 8.解:
(1)连结OA,OC，
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AB=CD,
　又
∵E,F是AB,CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CF，OE⊥AB，OF⊥CD,
　又
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE,
∴∠AEF=90°−∠OEF=90°−∠OFE=∠CFE;
　即∠AEF=∠CFE;
(2)过点O作OH⊥EF，垂足为H.
∵∠EOF=120°，OE=OF，OH⊥EF，
∴∠EOH=60°,
∴∠OEH=30°，
∵OE=4，
∴OH=2,
∴EH=$\sqrt{4²−2²}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2EH=4$\sqrt{3}$cm.

9. 如图所示，在$\odot O$中，弦$AB=CD$，延长$AB$到点$E$，延长$CD$到$F$，使得$BE=DF$.过$O$作$OP\perp EF$，垂足为$P$，求证：$PE=PF$.

答案：
9.证明:作OM⊥AB，ON⊥CD，
　连结OE,OF，
∵AB=CD,
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=DN,
　OM=ON.
∵BE=DF，
∴ME=NF.
　又
∵∠OME=∠ONF=90°,
∴△OEM≌△OFN.
∴OE=OF,
　又
∵OP⊥EF，
∴PE=PF.