《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7.如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道.已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高$AB = 0.75 m$，斜坡 AC 的坡比为$1:2$，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离$ED = 2.55 m$.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度.(结果精确到$1^{\circ}$)
参考数据表

计算器按键顺序 计算结果(已精确到 0.001)
$2 ndF\tan(1÷5)=$ $11.310$
$\tan(1÷5)=$ $0.003$
$2 ndF\tan(5÷19)=$ $14.744$
$\tan(5÷19)=$ $0.005$

答案： 7.12

8.知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角$\alpha$一般要满足$53^{\circ}\leq\alpha\leq72^{\circ}$.现有一架长$4 m$的梯子$AB$斜靠在一竖直的墙$AO$上.
(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端$A$与地面距离的最大值.
(2)当梯子底端$B$距离墙面$1.64 m$时，计算$\angle ABO$等于多少度？此时人是否能安全使用这架梯子？
(参考数据：$\sin53^{\circ}\approx0.80$，$\cos53^{\circ}\approx0.60$，$\tan53^{\circ}\approx1.33$，$\sin72^{\circ}\approx0.95$，$\cos72^{\circ}\approx0.31$，$\tan72^{\circ}\approx3.08$，$\sin66^{\circ}\approx0.91$，$\cos66^{\circ}\approx0.41$，$\tan66^{\circ}\approx2.25$)

答案： 8.解:
(1)53° ≤ α ≤ 72°,当α=72°时,AO取最大值，
∴AO=AB·sin∠ABO=4×sin72°=4×0.95=3.8(米),
∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米.
(2)在Rt△AOB中$,cos∠ABO= \frac{BO}{AB}=1.64÷4=0.41,$
∵cos66°≈0.41,
∴∠ABO=66°,
∵53° ≤ α ≤ 72°,
∴人能安全使用这架梯子.

9.数学教师布置了这样一个问题：如果$\alpha,\beta$都为锐角，且$\tan\alpha=\frac{1}{2},\tan\beta=\frac{1}{3}$,求$\alpha+\beta$的度数.
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图 1 和图 2.
(1)请你分别利用图 1、图 2 求出$\alpha+\beta$的度数，并说明理由.
(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果$\alpha,\beta$都为锐角，当$\tan\alpha = 5$，$\tan\beta=\frac{2}{3}$时，在图 3 的正方形网格中，利用已作出的锐角$\alpha$，画出$\angle MON$，使得$\angle MON=\alpha - \beta$，求出$\alpha - \beta$的度数，并说明理由.

答案：
9.解:
(1)①如图1中，
　易证△AMC≌△CNB.
∴AC=BC,∠ACM=∠CBN.
∵∠BCN+∠CBN=90°,
∴∠ACM+∠BCN=90°.
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴α+β=45°.
　②如图2中,易证△CEB∽△BEA.
∴∠CAB=∠CBE=β.
∴∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β.
∵DE=DB,∠D=90°,∠BED=45°,
∴α+β=45°.
(2)如答图中,∠MOE=α,∠NOH=β,
　∠MON=α - β.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 易证△MFN≌△NHO.
∴MN=NO,
　∠MNF=∠NOH.
∵∠NOH+∠ONH=90°,
∴∠ONH+∠MNF=90°.
∴∠MNO=90°.
∴∠NOM=∠NMO=45°.
∴α - β=45°.