《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7.已知二次函数$y=x^2-4x+2$，关于该函数在$-1\leq x\leq3$的取值范围内，下列说法正确的是 (D)

A.有最大值$-1$，有最小值$-2$
B.有最大值$0$，有最小值$-1$
C.有最大值$7$，有最小值$-1$
D.有最大值$7$，有最小值$-2$

答案： 7.D

8.某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形.设小正方形的边长为$m$，直角三角形较短直角边长为$n$，且$n=2m-4$，大正方形的面积为$S$.
(1)求$S$关于$m$的函数表达式.
(2)若小正方形边长不大于$3$，当大正方形面积最大时，求$m$的值.
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答案： 8.解：
(1)$\because$小正方形的边长为$m$，直角三角形较短边长为$n$，
$\therefore$直角三角形较长边长为$m + n$，
$\therefore$由勾股定理得：$S = (m + n)^{2} + n^{2}$，$\because n = 2m - 4$，
$\therefore S = (m + 2m - 4)^{2} + (2m - 4)^{2} = 13m^{2} - 40m + 32$。
$\because n = 2m - 4 ＞ 0$，$\therefore m ＞ 2$。
$\therefore S$关于$m$的函数关系式为$S = 13m^{2} - 40m + 32(m ＞ 2)$。
(2)$\because S = 13m^{2} - 40m + 32(2 ＜ m \leq 3)$，$\therefore S = 13(m - \frac{20}{13})^{2} + \frac{16}{13}$，
$\because m \geq \frac{20}{13}$时，$S$随$x$的增大而增大，$\therefore m = 3$时，$S$有最大值。
$\therefore m = 3$。

9.如图，直线$y=x+n$与抛物线$y=ax^2+bx+5(a\neq0)$相交于$A(1,2)$和$B(4,m)$两点，点$P$是线段$AB$上异于$A$，$B$的动点，过点$P$作$PC\perp x$轴于点$D$，交抛物线于点$C$.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)是否存在这样的点$P$，使线段$PC$的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
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答案： 9.解：
(1)把$A(1,2)$代入$y = x + n$，得$1 + n = 2$，
解得$n = 1$，$\therefore$一次函数解析式为$y = x + 1$；
把$B(4,m)$代入$y = x + 1$，得$m = 4 + 1 = 5$，
即$B(4,5)$，把$A(1,2)$，$B(4,5)$代入$y = ax^{2} + bx + 5$，
得$\begin{cases}a + b + 5 = 2, \\16a + 4b + 5 = 5, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1, \\b = - 4, \end{cases}$
$\therefore$抛物线解析式为$y = x^{2} - 4x + 5$。
(2)存在.设$P(t,t + 1)(1 ＜ t ＜ 4)$，
$\because PC \perp x$轴，$\therefore C(t,t^{2} - 4t + 5)$，
$\therefore PC = t + 1 - (t^{2} - 4t + 5) = - t^{2} + 5t - 4 = - (t - \frac{5}{2})^{2} + \frac{9}{4}$，
当$t = \frac{5}{2}$时，$PC$的长有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。