《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7.如图，已知等腰三角形 ABC 的顶角∠BAC 的大小为$\theta$，D 为边 BC 上的动点(不与点 B，C 重合).将 AD 绕点 A 沿顺时针方向旋转$\theta$角度时点 D 落在$D^{\prime}$处，连结$BD^{\prime}$.给出下列结论：
①△ACD≌△AB$D^{\prime}$；
②△ACB∽△AD$D^{\prime}$；
③当 BD=CD 时，△AD$D^{\prime}$的面积取得最小值.
其中正确的是①②③.(填结论对应的序号)
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答案： 7.①②③

8.如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，AE = 4，AB = 6，AD：AC = 2：3，△ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F.
(1)请你直接写出图中所有的相似三角形.
(2)求 AG 与 GF 的比.
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答案： 8.解:
(1)△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB.
(2)
∵$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又
∵∠DAE = ∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG = ∠C，
∵AF为角平分线，
∴∠DAG = ∠FAE，
∴△ADG∽△ACF，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AG}{GF}=2$.

9.已知：如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，BA·BD = BC·BE.
(1)求证：DE·AB = AC·BE.
(2)如果$AC^{2}=AD· AB$，求证：AE = AC.
]

答案： 9.证明:
(1)
∵BA·BD = BC·BE，
∴$\frac{BA}{BE}=\frac{BC}{BD}$.
又
∵∠B = ∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{DE}$，
∴DE·AB = AC·BE.
(2)
∵AC² = AD·AB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$.
又
∵∠DAC = ∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠ACD = ∠B.
∵BA·BD = BC·BE，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
又
∵∠B = ∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE = ∠BCD.
∵∠AEC = ∠B + ∠BAE，
∠ACE = ∠ACD + ∠BCD，
∴∠AEC = ∠ACE，
∴AE = AC.