《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7.小明把一副三角尺按如图所示叠放在一起，固定三角尺$ABC$，将另一块三角尺$DEF$绕公共顶点$B$顺时针旋转(旋转的度数不超过$180^{\circ}$).若两块三角尺有一边平行，则三角尺$DEF$旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°.

答案： 7.15°或45°或90°或135°

8.如图所示，正方形$ABCD$的边$BC$上有一点$E$，$\angle DAE$的平分线交$CD$于点$F$.
求证：$AE = DF + BE$.

答案：
8.证明:如图所示，将△ADF绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF'.则∠3 =∠1,∠AFD=∠F',∠ABF'=∠D,BF'=DF.

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB//CD,∠ABC=∠D=90°,
∴∠AFD=∠FAB,∠ABF'=∠D=90°,
∴∠ABF'+∠ABC=180°,
∴F',B,C三点共线.
∵∠FAB=∠2+∠BAE,
∴∠AFD=∠2+∠BAE.
　又
∵∠DAE的平分线交CD于点F，
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠2,
∴∠AFD=∠3+∠BAE,
∴∠F'=∠3+∠BAE.
∵∠F'AE=∠3+∠BAE,
∴∠F'AE=∠F',
∴AE=EF'=BF'+BE=DF+BE.

9.将矩形$ABCD$绕点$A$顺时针旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜360^{\circ})$，得到矩形$AEFG$.
(1)如图，当点$E$在$BD$上时.求证：$FD = CD$.
(2)当$\alpha$为何值时，$GC = GB$？画出图形，并说明理由.

答案：
9.解:
(1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD,
∴∠AEB=∠ABE,
　又
∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF,
∴∠EDA=∠DEF,又
∵DE=ED,
∴△AED≌△FDE(SAS),
∴DF=AE,
　又
∵AE=AB=CD,
∴CD=DF.
(2)如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，
　分两种情况讨论:
　①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连结GH交AD 于M,
∵GC=GB,
∴GH⊥BC,
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AG,
∴GM垂直平分AD，
∴GD=GA=DA,
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°,
∴旋转角α=60°.
　②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°,
∴旋转角α=360°−60°=300°.