《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

【例 1】(1)已知线段$m = 8$，$n = 2$，求线段$m$，$n$的比例中项.
(2)已知$\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$，$x + y = 24$，求$x$，$y$的值.

答案： 解:
(1)
∵线段$m = 8,n = 2$，
∴线段$m,n$的比例中项$ = \sqrt{8 × 2} = 4$.
(2)设$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k$，可得$x = 3k,y = 5k$，
把$x = 3k,y = 5k$代入$x + y = 24$，可得$3k + 5k = 24$，解得$k = 3$，所以$x = 3 × 3 = 9,y = 3 × 5 = 15$.

练习1如果舞台$AB$的长为$10$米，一名主持人现在站在$A$处，那么她至少走多少米才到达舞台的黄金分割点处
(B)

A.$5\sqrt{5} - 5$
B.$15 - 5\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{5} + 5$
D.$15 - 5\sqrt{5}$或$5\sqrt{5} - 5$

答案： 练习1.B

【例 2】已知：如图，在菱形$ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$BC$，$CD$上，$BE = FD$，$AF$的延长线交$BC$的延长线于点$H$，$AE$的延长线交$DC$的延长线于点$G$.

(1)求证：$\bigtriangleup AFD \backsim \bigtriangleup GAD$.
(2)若$DF^{2} = CF · CD$，求证：$BE = CH$.

答案：
(1)证明:易证$\triangle ABE \cong \triangle ADF(SAS)$，
∴$\angle BAE = \angle DAF$.
∵$AB // CD$，
∴$\angle G = \angle BAE = \angle DAF$，
又
∵$\angle D = \angle D$，
∴$\triangle AFD \backsim \triangle GAD$.
(2)证明:
∵$DF^{2} = CF · CD$，
∴$\frac{CF}{DF} = \frac{DF}{CD}$，
∵$AD // BH$，
∴$\frac{CF}{DF} = \frac{CH}{AD}$，
∴$\frac{CH}{AD} = \frac{DF}{CD}$，
∵$AD = CD$，
∴$CH = DF$，
∵$BE = DF$，
∴$BE = CH$.

练习2如图，在$\bigtriangleup ABC$的外接圆$O$中，$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$AD$交$BC$于点$E$，连结$BD$.
(1)列出图中所有相似三角形.
(2)连结$DC$，若在$\overset{\frown}{BAC}$上任取一点$K$（点$A$，$B$，$C$除外），连结$CK$，$DK$，$DK$交$BC$于点$F$，$DC^{2} = DF · DK$是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明.

答案：
解:
(1)$\triangle BDE \backsim \triangle ACE$，
$\triangle DBE \backsim \triangle DAB$，
$\triangle ABD \backsim \triangle AEC$.

(2)$DC^{2} = DF · DK$成立.
证明:
∵$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{DC}$，
∴$\angle DBC = \angle DCB$(等弧的圆周角相等)，
又
∵$\angle DBC = \angle DKC$，
∴$\angle DCB = \angle DKC$，
又
∵$\angle KDC = \angle CDF$，
∴$\triangle KDC \backsim \triangle CDF$，
∴$\frac{KD}{DC} = \frac{DC}{DF}$，
∴$DC^{2} = DF · DK$.