《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. 如图所示为二次函数$y= -(x-3)^{2}+4$的图象,当$0≤x≤4$时,该函数(C)

A. 有最小值0,有最大
B. 只有最大值4,无最小值
C. 有最小值-5,有最大值4
D. 有最小值-4,有最大值4

答案： C

2. 将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形,则围成的矩形的面积最大是(A)
A. $\frac {1}{4}m^{2}$
B. $\frac {1}{3}m^{2}$
C. $\frac {1}{2}m^{2}$
D. $1m^{2}$

答案： A

3. 已知两个数的差是16,设被减数是x,则这两个数的积$y= $$ x ^ { 2 } - 16 x $(用含x的代数式表示),y的最小值是$ - 64 $.

答案： $ x ^ { 2 } - 16 x $ $ - 64 $

4. 已知二次函数$y= x^{2}-4x+3$,当自变量满足$-1≤x≤3$时,y的最大值为8,最小值为-1.

答案： $ 8 $ $ - 1 $

5. 酶是一种生物催化剂,其催化能力称为活性,活性越高,催化反应越快,研究发现酶的活性与温度有密切关系.已知某种酶在一定温度范围内,其活性y(U)与温度x(℃)的关系可以近似用函数$y= -\frac {1}{2}x^{2}+30x+1200$表示,要使其催化反应最快,则温度应保持在30℃.

答案： $ 30 $

6. 已知直角三角形的两直角边之和为6,则斜边长的最小值是$ 3 \sqrt { 2 } $.

答案： $ 3 \sqrt { 2 } $

7. 用长为8m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,

则这个窗户的最大透光面积是(第7题)$\frac{8}{3}$$m^{2}$(铝合金条遮光部分忽略不计).

答案： $ \frac { 8 } { 3 } $

8. 求下列二次函数的最大值或最小值.
(1)$y= x^{2}+10x-7$.
(2)$y= -x^{2}+3x+2$.

答案： $(1)$ 求$y = x^{2}+10x - 7$的最值
解：对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，当$a\gt0$时，函数开口向上，在对称轴处取得最小值；当$a\lt0$时，函数开口向下，在对称轴处取得最大值。
在$y = x^{2}+10x - 7$中，$a = 1$，$b = 10$，$c = -7$。
因为$a = 1\gt0$，所以函数开口向上，有最小值。
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×1}=-5$。
把$x = -5$代入函数$y = x^{2}+10x - 7$得：
$y=(-5)^{2}+10×(-5)-7$
$=25 - 50 - 7$
$=-32$。
$(2)$ 求$y=-x^{2}+3x + 2$的最值
解：在$y=-x^{2}+3x + 2$中，$a=-1$，$b = 3$，$c = 2$。
因为$a=-1\lt0$，所以函数开口向下，有最大值。
对称轴$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-1)}=\frac{3}{2}$。
把$x=\frac{3}{2}$代入函数$y=-x^{2}+3x + 2$得：
$y=-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+3×\frac{3}{2}+2$
$=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}+2$
$=-\frac{9}{4}+\frac{18}{4}+\frac{8}{4}$
$=\frac{-9 + 18+8}{4}=\frac{17}{4}$。
综上，$(1)$ $y = x^{2}+10x - 7$有最小值$-32$；$(2)$ $y=-x^{2}+3x + 2$有最大值$\boldsymbol{\frac{17}{4}}$。

9. 如图,已知$//ogram ABCD$的周长为16,$∠D= 30^{\circ }$.设$AB= x,//ogram ABCD$的面积为y,求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.

答案： $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 4 x ( 0 ＜ x ＜ 8 ) $.