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2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
11. 如图,在扇形AOB中,半径$OA= 3$,C是OA上一点,且$OC= CA$,连结BC. 若$BC⊥AC$,则$\widehat {AB}$的长为(
A. $\frac {π}{6}$
B. $\frac {π}{3}$
C. $\frac {π}{2}$
D. $π$
D
)A. $\frac {π}{6}$
B. $\frac {π}{3}$
C. $\frac {π}{2}$
D. $π$
答案：
D
12. 如图,$△ABC内接于\odot O$,$∠B= 65^{\circ }$,$∠C= 70^{\circ }$. 若$BC= 2\sqrt {2}$,则$\widehat {BC}$的长为(
A. $π$
B. $\sqrt {2}π$
C. $2π$
D. $2\sqrt {2}π$
A
)A. $π$
B. $\sqrt {2}π$
C. $2π$
D. $2\sqrt {2}π$
答案：
A
13. 如图,正六边形ABCDEF的边长为3,且内接于$\odot O$,则劣弧AB的长为
$\pi$
.
答案：
$ \pi $
14. 传统服饰日益受到关注,马面裙是明清时期女子的主要裙式之一,可以近似地看做扇环(如图),其中$\widehat {AD}的长度为\frac {1}{3}πm$,$\widehat {BC}的长度为\frac {3}{5}πm$,圆心角$∠AOD= 60^{\circ }$,则裙长AB为
0.8
m.
答案：
0.8
15. 如图,已知四边形ABCD内接于$\odot O$,连结BD,$∠BAD= 105^{\circ }$,$∠DBC= 75^{\circ }$.
(1)求证：$BD= CD$.
(2)若$\odot O$的半径为3,求$\widehat {BC}$的长.
(1)求证：$BD= CD$.
(2)若$\odot O$的半径为3,求$\widehat {BC}$的长.
答案：
1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质：$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
已知$\angle BAD = 105^{\circ}$，则$\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD$，即$\angle BCD = 180 - 105=75^{\circ}$。
又因为$\angle DBC = 75^{\circ}$，所以$\angle BCD=\angle DBC$。
根据等腰三角形的判定（等角对等边），在$\triangle BCD$中，可得$BD = CD$。
2. （2）解：
因为$\angle BCD=\angle DBC = 75^{\circ}$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍。
设圆心为$O$，$\angle BOC$是圆心角，$\angle BDC$是圆周角，$\angle BDC=\angle BAC$（同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等）。
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle BCD=180 - 75-75 = 30^{\circ}$。
所以$\angle BOC = 2\angle BDC$（同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍），则$\angle BOC=60^{\circ}$。
已知$\odot O$的半径$r = 3$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$是圆心角的度数，$r$是半径）。
对于$\overset{\frown}{BC}$，$n = 60^{\circ}$，$r = 3$，则$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{60\pi×3}{180}=\pi$。
综上，（1）得证$BD = CD$；（2）$\overset{\frown}{BC}$的长为$\pi$。
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质：$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
已知$\angle BAD = 105^{\circ}$，则$\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD$，即$\angle BCD = 180 - 105=75^{\circ}$。
又因为$\angle DBC = 75^{\circ}$，所以$\angle BCD=\angle DBC$。
根据等腰三角形的判定（等角对等边），在$\triangle BCD$中，可得$BD = CD$。
2. （2）解：
因为$\angle BCD=\angle DBC = 75^{\circ}$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍。
设圆心为$O$，$\angle BOC$是圆心角，$\angle BDC$是圆周角，$\angle BDC=\angle BAC$（同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等）。
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle BCD=180 - 75-75 = 30^{\circ}$。
所以$\angle BOC = 2\angle BDC$（同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍），则$\angle BOC=60^{\circ}$。
已知$\odot O$的半径$r = 3$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$是圆心角的度数，$r$是半径）。
对于$\overset{\frown}{BC}$，$n = 60^{\circ}$，$r = 3$，则$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{60\pi×3}{180}=\pi$。
综上，（1）得证$BD = CD$；（2）$\overset{\frown}{BC}$的长为$\pi$。
16. 如图,在$\odot O$上依次有A,B,C三点,BO的延长线交$\odot O$于点E,$\widehat {AE}= \widehat {CE}$,过点C作$CD// AB$交BE的延长线于点D,连结AD交$\odot O$于点F.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)连结OA,OF,OC,若$∠AOF= 3∠FOD$,且$AF= 3$,求$\widehat {CF}$的长.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)连结OA,OF,OC,若$∠AOF= 3∠FOD$,且$AF= 3$,求$\widehat {CF}$的长.
答案：
1. （1）证明：
因为$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，所以$\angle ABE = \angle CBE$（同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）。
又因为$CD// AB$，所以$\angle ABD=\angle CDB$，则$\angle CBE=\angle CDB$，所以$BC = CD$。
因为$BE$是$\odot O$的直径，$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，所以$AB = BC$（同圆或等圆中，等弧所对的弦相等）。
因为$CD// AB$，$AB = BC$，$BC = CD$，所以四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又$AB = BC$，所以平行四边形$ABCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
2. （2）解：长为$\frac{5π}3$
因为$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，所以$\angle ABE = \angle CBE$（同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）。
又因为$CD// AB$，所以$\angle ABD=\angle CDB$，则$\angle CBE=\angle CDB$，所以$BC = CD$。
因为$BE$是$\odot O$的直径，$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，所以$AB = BC$（同圆或等圆中，等弧所对的弦相等）。
因为$CD// AB$，$AB = BC$，$BC = CD$，所以四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又$AB = BC$，所以平行四边形$ABCD$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
2. （2）解：长为$\frac{5π}3$
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