《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

例1 如图,D为抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2$上一动点,过点D作x轴的垂线,交直线$y = -x + 4$于点P,设点D的横坐标为m。当

点D在直线下方的抛物线上运动时,PD的最大值为$\frac{49}{8}$。

答案： $\frac{49}{8}$

如图,在菱形ABCD中,$\angle A = 120^{\circ}$,$AB = 6$,点E,F分别是边AB,AD上的动点,且$AE = DF$,则EF的最小值为$3\sqrt{3}$。

答案： $3\sqrt{3}$

例2 如图,抛物线$y = ax^{2} + bx + 3$与x轴相交于$A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,与y轴相交于点C。
(1)求抛物线的函数表达式。
(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使$\triangle PAC$的周长最小,求$\triangle PAC$的周长的最小值及此时点P的坐标。

答案：
(1)$y=-x^{2}+2x+3$．
(2)$\triangle PAC$周长的最小值为$\sqrt{10}+3\sqrt{2}$，点$P(1,2)$．

如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,四边形EFGH的周长最小值为(B)
A. 18cm
B. $12\sqrt{2}cm$
C. 24cm
D. $6\sqrt{6}cm$

答案： B

例3 (2024秋·杭州上城期末)如图,正方形ABCD的边长为4,P,Q分别是边AB,BC上的动点(不与端点重合),且$BQ = AP$,R,S分别是边CD,DA上的点,$CR = 1$,$DS = 2$,设AP的长为x,四边形PQRS的面积为y。
(1)求y关于x的函数表达式及自变量的取值范围。
(2)四边形PQRS的面积是否有最小值？如果有,请求出最小值,并计算此时AP的长度；如果没有,请说明理由。

答案：
(1)$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x+11(0＜x＜4)$．
(2)$y$有最小值，最小值为$\frac{63}{8}$，此时$AP=\frac{5}{2}$．

跟踪训练3 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为$(4,3)$,D是抛物线$y = -x^{2} + 6x$上一点,且在BC上方,则$\triangle BCD$面积的最大值为(C)
A. 12
B. 9
C. 15
D. 16

答案： C