《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

11. 如图,在圆内接四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BCD = 108 ^ { \circ } $. 连结 $ OB $,$ OC $,$ OD $,$ BD $,$ \angle BOC = 2 \angle COD $,则 $ \angle COD $ 的度数为(A)
A. $ 48 ^ { \circ } $
B. $ 44 ^ { \circ } $
C. $ 40 ^ { \circ } $
D. $ 36 ^ { \circ } $

答案： A

12. 如图,五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $. 若 $ \angle B + \angle E = 215 ^ { \circ } $,则 $ \angle CAD $ 的度数为(B)
A. $ 30 ^ { \circ } $
B. $ 35 ^ { \circ } $
C. $ 55 ^ { \circ } $
D. $ 70 ^ { \circ } $

答案： B

13. 如图,四边形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形,连结 $ OC $,$ BD $,$ OC \perp BD $,若 $ \angle A = 70 ^ { \circ } $,则 $ \angle CBD $ 的度数为$ 35^{\circ} $.

答案： $ 35^{\circ} $

14. 如图,在圆内接四边形 $ ABCD $ 中,$ AB $ 为圆的直径,$ \angle C = 135 ^ { \circ } $,$ AD = 2 $,则 $ AB $ 的长为$ 2\sqrt{2} $.

答案： $ 2\sqrt{2} $

15. 如图,四边形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形,延长 $ DC $,$ AB $ 相交于点 $ E $,且 $ BE = BC $.
(1)求证：$ \triangle ADE $ 是等腰三角形.
(2)若 $ \angle D = 90 ^ { \circ } $,$ \odot O $ 的半径为 $ 5 $,$ BC : DC = 1 : \sqrt { 2 } $,求 $ \triangle CBE $ 的周长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，所以$\angle A+\angle BCD = 180^{\circ}$。
又因为$\angle BCE+\angle BCD = 180^{\circ}$，根据同角的补角相等，可得$\angle A=\angle BCE$。
已知$BE = BC$，所以$\angle E=\angle BCE$。
从而$\angle A=\angle E$，根据等角对等边，所以$AD = DE$，即$\triangle ADE$是等腰三角形。
2. （2）
连接$BD$：
因为$\angle D = 90^{\circ}$，所以$BD$是$\odot O$的直径（直径所对的圆周角是直角），则$BD = 10$。
设$BC=x$，因为$BC:DC = 1:\sqrt{2}$，所以$DC=\sqrt{2}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BD^{2}=BC^{2}+DC^{2}$（$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$a = BC$，$b = DC$，$c = BD$），即$10^{2}=x^{2}+(\sqrt{2}x)^{2}$。
展开得$100=x^{2}+2x^{2}$，即$3x^{2}=100$，解得$x=\frac{10\sqrt{3}}{3}$（$x\gt0$）。
因为$\angle A=\angle E$，$\angle D=\angle BCE = 90^{\circ}$，所以$\triangle BCD\sim\triangle ECB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
则$\frac{BC}{EC}=\frac{DC}{BC}$，即$EC=\frac{BC^{2}}{DC}$，把$BC = x=\frac{10\sqrt{3}}{3}$，$DC=\sqrt{2}x=\frac{10\sqrt{6}}{3}$代入，得$EC=\frac{(\frac{10\sqrt{3}}{3})^{2}}{\frac{10\sqrt{6}}{3}}=\frac{\frac{100×3}{9}}{\frac{10\sqrt{6}}{3}}=\frac{10\sqrt{6}}{3}$。
又因为$BE = BC=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
所以$\triangle CBE$的周长为$BC + BE+EC=\frac{10\sqrt{3}}{3}+\frac{10\sqrt{3}}{3}+\frac{10\sqrt{6}}{3}=\frac{20\sqrt{3}+10\sqrt{6}}{3}$。
综上，（1）证明如上；（2）$\triangle CBE$的周长为$\frac{20\sqrt{3}+10\sqrt{6}}{3}$。

16. 如图,圆内接四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ E $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ \angle BAC = \angle ADB $.
(1)求证：$ DB $ 平分 $ \angle ADC $.
(2)求 $ \angle BAD $ 的度数.
(3)过点 $ C $ 作 $ CF // DA $,交 $ AB $ 的延长线于点 $ F $. 若 $ AC = AD $,$ BF = 2 $,求此圆的半径.

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle BAC=\angle ADB$，$\angle BAC = \angle BDC$（同弧所对的圆周角相等），所以$\angle ADB=\angle BDC$，即$DB$平分$\angle ADC$。
2. （2）解：
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD$；又因为$BD$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADB=\angle CDB$。
由圆内接四边形的性质可知$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$，设$\angle ABD=\angle CBD = x$，$\angle ADB=\angle CDB = y$，则$2x + 2y=180^{\circ}$，即$x + y = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180^{\circ}-(\angle ABD+\angle ADB)=90^{\circ}$。
3. （3）解：
因为$AC = AD$，$\angle ADB=\angle BDC$，所以$AC\perp BD$（等腰三角形三线合一），又因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$BD$是圆的直径（$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径）。
因为$CF// DA$，所以$\angle FCB=\angle ADB$（两直线平行，同位角相等），又因为$\angle ADB=\angle BAC$，$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle FBC=\angle ADC$（圆内接四边形的外角等于内对角），且$\angle ADB=\angle BDC$。
由（2）知$\angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle BCD=\angle BAD = 90^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
因为$\angle FCB+\angle BCD+\angle DCA = 180^{\circ}$，$\angle ADB+\angle DCA = 90^{\circ}$（$AC\perp BD$），$\angle FCB=\angle ADB$，所以$\angle FCB = 45^{\circ}$，$\angle FBC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle FBC$中，$\angle FCB = 45^{\circ}$，$\angle FBC = 90^{\circ}$，$BF = 2$，则$BC=\sqrt{2}BF = 2\sqrt{2}$。
因为$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle ABD=\angle CBD$，$\angle BCA=\angle BDA$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$BD$是直径，设圆的半径为$R$。
又因为$\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle ABD=\angle CBD$，可得$\triangle ABC\cong\triangle DBC$（$AAS$），所以$AB = BD$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，$BD$是直径，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$CF// DA$，$\angle F = \angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle FCB=\angle BDC = 45^{\circ}$，$\triangle FBC$是等腰直角三角形，$BC = 2\sqrt{2}$。
因为$\angle BAC=\angle BDC = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AB = AC$。
因为$BD$是直径，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle BDC = 45^{\circ}$，所以$BD=\sqrt{2}BC$。
已知$BC = 2\sqrt{2}$，则$BD = 4$，所以圆的半径$R = 2$。
综上，（1）得证；（2）$\angle BAD = 90^{\circ}$；（3）圆的半径为$2$。