《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. 有下列命题:①同圆中等弧对等弦;②同圆中相等弦所对的弧相等;③同圆中相等的弦的弦心距相等;④相等的圆心角所对的弧相等.其中属于真命题的是 (B)
A. ①②
B. ①③
C. ①③④
D. ②③④

答案： B

2. 如图,已知AB是$\odot O$的直径,C,D是$\widehat {BE}$的三等分点,$∠AOE= 60^{\circ }$,则$∠COE$的度数为 (C)
A. $40^{\circ }$
B. $60^{\circ }$
C. $80^{\circ }$
D. $120^{\circ }$

答案： C

3. 如图,在$\odot O$中,$\widehat {AB}= \widehat {AC},∠A= 40^{\circ }$,则$∠B$的度数为 (B)
A. $80^{\circ }$
B. $70^{\circ }$
C. $60^{\circ }$
D. $65^{\circ }$

答案： B

4. 如图,AB,CD为$\odot O$的两条弦,$AB= CD,OE⊥AB$于点E,且$OE= 2cm$,则点O到CD的距离为2cm.

答案： 2

5. 如图所示的齿轮有30个齿,若每两个齿之间的间隔相等,则相邻两个齿之间的圆心角α的度数为12°.

答案： $ 12^{\circ} $

6. 如图,已知在$\odot O$中,BC是直径,$AB= DC,∠AOD= 100^{\circ }$,则$∠AOB$的度数为$40^{\circ} $.

答案： $ 40^{\circ} $

7. 如图,AD是半圆O的直径,点B,C在半圆O上.若$AB= BC= CD= 4$,则半圆O的直径为8.

答案： 8

8. 如图,PO是$\odot O$的直径所在的直线,且PO平分$∠BPD,OE⊥AB,OF⊥CD$. 有下列结论:①$AB= CD$;②$\widehat {AB}= \widehat {CD}$;③$PO= PE$;④$\widehat {BG}= \widehat {DG}$.其中正确的是______①②④(填序号).

答案： ①②④

9. 如图,A,B,C,D是$\odot O$上的点,$∠1= ∠2,AC= 3cm$.
(1)求证:$\widehat {AC}= \widehat {BD}$.
(2)求BD的长.

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle1=\angle2$，
所以$\angle1 + \angle BOC=\angle2+\angle BOC$（等式的性质），
即$\angle DOC=\angle AOB$。
根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可得$\widehat{AC}=\widehat{BD}$。
2. （2）
因为在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，由（1）知$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，
又已知$AC = 3cm$，所以$BD=AC$。
则$BD = 3cm$。
综上，（1）得证；（2）$BD$的长为$3cm$。

10. 如图,$\odot O经过\triangle ABC$的顶点A,C及AB的中点D,且D也是$\widehat {AC}$的中点.求证:$\triangle ABC$是直角三角形.

答案： 【解析】：连接$OD$。
因为$D$是$\widehat{AC}$的中点，根据垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以$OD\perp AC$。
又因为$D$是$AB$的中点，$O$是圆心（$\odot O$中隐含条件），所以$OD$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，所以$OD// BC$。
由于$OD\perp AC$，$OD// BC$，根据平行线的性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线，所以$BC\perp AC$。
即$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
【答案】：连接$OD$，因为$D$是$\widehat{AC}$中点，所以$OD\perp AC$，又$D$是$AB$中点，$O$是圆心，所以$OD$是$\triangle ABC$中位线，$OD// BC$，由$OD\perp AC$得$BC\perp AC$，$\angle C = 90^{\circ}$，故$\triangle ABC$是直角三角形。