《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. 一条线段的黄金分割点有(B)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无数个

答案： B

2. 已知线段$a = 4$,$b = 16$,线段$c是a$,$b$的比例中项,则$c$等于(B)
A. 1
B. 8
C. 64
D. $\pm 8$

答案： B

3. 若$x是a$,$b$的比例中项,则下列式子中,错误的是(D)
A. $x^{2} = ab$
B. $\frac{a}{x} = \frac{x}{b}$
C. $\frac{b}{x} = \frac{x}{a}$
D. $ab = \sqrt{x}$

答案： D

4. 如果$C是线段AB$的一个黄金分割点,那么下列线段的比值中,不可能是黄金比的为(B)
A. $\frac{AC}{AB}$
B. $\frac{AB}{AC}$
C. $\frac{AC}{BC}$
D. $\frac{BC}{AB}$

答案： B

5. 玻璃瓶中装入不同量的水,敲击时能发出不同的声音. 实验发现,当液面高度$AC与瓶高AB$之比为黄金比时(如图),可以敲击出音符“sol”的声音. 若$AB = 10cm$,且敲击时发出音符“sol”的声音,则液面的高$AC$约为(C)
A. $3.82cm$
B. $5cm$
C. $6.18cm$
D. $7.2cm$

答案： C

6. 黄金分割广泛存在于自然界,比如植物叶片中即有黄金分割. 如图,$B是线段AC的黄金分割点(AB ＞ BC)$,则下列结论中,正确的是(D)

A. $\frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$
B. $BC^{2} = AB\cdot AC$
C. $\frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D. $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

答案： D

7. 如果6是$x和\sqrt{3}$的比例中项,那么$x$的值为$ 12 \sqrt { 3 } $.

答案： $ 12 \sqrt { 3 } $

8. 已知线段$AB = 1cm$,$C为AB$的黄金分割点,则较短线段$AC$的长为$\frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 }$$cm$.

答案： $ \frac { 3 - \sqrt { 5 } } { 2 } $

9. (1)已知$a = 4$,$c = 0.09$,若$b是a$,$c$的比例中项,求$b$的值.
(2)已知线段$MN是AB$,$CD$的比例中项,$AB = 4cm$,$CD = 5cm$,求$MN$的长.
(3)比较(1)(2),你发现了什么？

答案：
(1) $ \pm 0.6 $.
(2) $ 2 \sqrt { 5 } \mathrm { cm } $.
(3)数值作为比例中项可以取正值和负值,而线段只能取正值.

10. 如图,已知$C$,$D是线段AB$上的点,$AB = 1$,$CD = \sqrt{5} - 2$,$AC = BD$,则$C$,$D$是黄金分割点吗？请作出判断并说明理由.

答案： 解：设$AC = BD = x$。
因为$AB = 1$，$CD=\sqrt{5}-2$，所以$2x+\sqrt{5}-2 = 1$，
$2x=1 - (\sqrt{5}-2)=3 - \sqrt{5}$，
解得$x=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
则$\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}{1}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
又因为黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，
$\frac{AD}{AB}=\frac{AC + CD}{AB}=\frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}-2}{1}=\frac{\frac{3 - \sqrt{5}+2\sqrt{5}-4}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\frac{BC}{AB}=\frac{BD + CD}{AB}=\frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}-2}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
所以$C$，$D$是线段$AB$的黄金分割点。