《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

9. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D为BC$边上一点,$E为AC$边上一点,且$\angle ADE = 60^{\circ}$。已知$AB = 9$,$BD = 3$,则$CE$的长为(A)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

答案： A

10. 两个相似三角形的相似比为$3:2$,已知其中一个三角形的一条角平分线的长为$12$,则另一个三角形对应的角平分线的长为8 或 18。

答案： 8 或 18

11. 如图,$\triangle ABC的中线AD$,$CE相交于点O$,$EF // BC交AD于点F$,则$OD:FA = $$2:3$。

答案： $2:3$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD是\triangle ABC$的角平分线,且$\angle ABC = 2\angle C$。
(1)求证：$\triangle ABC \backsim \triangle ADB$。
(2)若$AB = 5$,$AD = 4$,求$BD$的长。

答案： 1. （1）证明：
因为$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle ABD=\angle DBC$。
又因为$\angle ABC = 2\angle C$，所以$\angle ABD=\angle C$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADB$中，$\angle A=\angle A$（公共角），$\angle ABD=\angle C$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\backsim\triangle ADB$。
2. （2）解：
因为$\triangle ABC\backsim\triangle ADB$，所以$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{CD}=\frac{AC}{AB}$。
设$BD = x$。
由$\triangle ABC\backsim\triangle ADB$可得$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{CD}$，且$\angle ABD=\angle C$，$\angle A=\angle A$。
又因为$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{CD}$，$\angle ABD=\angle C$，$\angle ADB=\angle BDC + \angle C$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，$\angle ABD=\angle DBC=\angle C$，所以$BD = CD=x$。
由$\triangle ABC\backsim\triangle ADB$得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，即$AC=\frac{AB^{2}}{AD}$，已知$AB = 5$，$AD = 4$，则$AC=\frac{25}{4}$。
又因为$AC=AD + CD$，$AD = 4$，$CD=x$，所以$\frac{25}{4}=4 + x$。
移项可得$x=\frac{25}{4}-4=\frac{25 - 16}{4}=\frac{9}{4}$。
所以（1）已证$\triangle ABC\backsim\triangle ADB$；（2）$BD$的长为$\frac{9}{4}$。

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD$,$CE分别是边AC$,$AB$上的中线,$M$,$N分别是\triangle BEC$,$\triangle BCD$的重心,求$MN与BC$的比。

答案： $1:6$.