《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

11. 已知三个数$1$,$\sqrt{3}$,$2$,下列选项中,加入后不能使它们构成一个比例式的为 (D)
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $2\sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}$

答案： D

12. 已知$\frac{a}{3}= \frac{b}{4}= \frac{c}{5}$,且$a+b-c= 6$,则$a$的值为9.

答案： 9

13. 若$\frac{3}{x}= \frac{4}{y}$,则$\frac{3x+y}{x-y}$的值为$-13$.

答案： $-13$

14. 已知$a:b:c= 2:3:4$.
(1)求$\frac{a+b}{b+c}$的值.
(2)当$2b-c= 8$时,求$a+b+c$的值.

答案：
(1)$\frac{5}{7}$.
(2)36.

15. 已知$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}= \frac{5}{3}$.
(1)判断比例式$\frac{a+c+e}{b+d+f}= \frac{a}{b}(b+d+f≠0)$是否成立,并说明理由.
(2)计算$\frac{a+b}{a-b}和\frac{e+f}{e-f}$的值,说一说你的发现.

答案： $(1)$判断比例式$\frac{a + c + e}{b + d + f}=\frac{a}{b}(b + d + f\neq0)$是否成立
解：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k = \frac{5}{3}$，则$a = bk$，$c = dk$，$e = fk$。
将$a = bk$，$c = dk$，$e = fk$代入$\frac{a + c + e}{b + d + f}$可得：
$\frac{a + c + e}{b + d + f}=\frac{bk + dk + fk}{b + d + f}=\frac{k(b + d + f)}{b + d + f}=k$
因为$k=\frac{a}{b}$，所以$\frac{a + c + e}{b + d + f}=\frac{a}{b}(b + d + f\neq0)$成立。
$(2)$计算$\frac{a + b}{a - b}$和$\frac{e + f}{e - f}$的值
计算$\frac{a + b}{a - b}$：
已知$\frac{a}{b}=\frac{5}{3}$，设$a = 5x$，$b = 3x(x\neq0)$。
则$\frac{a + b}{a - b}=\frac{5x + 3x}{5x - 3x}=\frac{8x}{2x}=4$。
计算$\frac{e + f}{e - f}$：
已知$\frac{e}{f}=\frac{5}{3}$，设$e = 5y$，$f = 3y(y\neq0)$。
则$\frac{e + f}{e - f}=\frac{5y + 3y}{5y - 3y}=\frac{8y}{2y}=4$。
发现：$\frac{a + b}{a - b}=\frac{e + f}{e - f}$，即当$\frac{a}{b}=\frac{e}{f}$时，$\frac{a + b}{a - b}=\frac{e + f}{e - f}$（答案不唯一，合理即可）。
综上，$(1)$比例式成立；$(2)$$\frac{a + b}{a - b}=4$，$\frac{e + f}{e - f}=4$，发现当$\frac{a}{b}=\frac{e}{f}$时，$\frac{a + b}{a - b}=\frac{e + f}{e - f}$ 。

16. 已知$\triangle ABC$的周长为12,$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边,且$\frac{a+4}{3}= \frac{b+3}{2}= \frac{c+8}{4}$. 请判断$\triangle ABC的形状并求\triangle ABC$的面积.

答案： $\triangle ABC$为直角三角形，$\triangle ABC$的面积为6.