《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

典例3 (2024秋·杭州上城期末节选)如图,$D为\triangle ABC的边AC$上一点,且$AB^{2}= AD\cdot AC$.
(1)求证:$∠ABD= ∠ACB$.
(2)若$AB= CD$,求$BD:BC$的值.

答案： 1. （1）证明：
已知$AB^{2}=AD\cdot AC$，则$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACB$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，且$\angle A=\angle A$（公共角）。
根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle ACB$。
由相似三角形的性质（相似三角形对应角相等），所以$\angle ABD = \angle ACB$。
2. （2）解：
设$AD = x$，因为$AB = CD$，$AB^{2}=AD\cdot AC$，$AC=AD + CD$，设$AB = CD=a$，则$a^{2}=x(x + a)$。
展开得$a^{2}=x^{2}+ax$，即$a^{2}-ax - x^{2}=0$。
对于一元二次方程$a^{2}-ax - x^{2}=0$，根据求根公式$a=\frac{x\pm\sqrt{x^{2}+4x^{2}}}{2}=\frac{x\pm\sqrt{5}x}{2}$（这里$a\gt0,x\gt0$），所以$a=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}x$。
因为$\triangle ABD\sim\triangle ACB$，根据相似三角形的性质$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$。
又$AC=AD + CD=x + a$，把$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x$代入得$AC=x+\frac{1 + \sqrt{5}}{2}x=\frac{2x+(1 + \sqrt{5})x}{2}=\frac{(3 + \sqrt{5})x}{2}$。
所以$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}x}$。
分子分母同时乘以$2$得$\frac{(1 + \sqrt{5})x}{(3+\sqrt{5})x}$，再对$\frac{1+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$进行分母有理化：
$\frac{1+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{(1 + \sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}$。
根据$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，$(3+\sqrt{5})(3 - \sqrt{5})=3^{2}-(\sqrt{5})^{2}=9 - 5 = 4$。
$(1+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3-\sqrt{5}+3\sqrt{5}-5=2\sqrt{5}-2 = 2(\sqrt{5}-1)$。
所以$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
综上，（1）已证$\angle ABD=\angle ACB$；（2）$BD:BC$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

互动题3-1 如图,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,连结$CD$.若$\frac {AD}{AB}= \frac {2}{5}$,则下列结论中,错误的是(C)
A. $\frac {DE}{BC}= \frac {2}{5}$
B. $\frac {C_{\triangle ADE}}{C_{\triangle ABC}}= \frac {2}{5}$
C. $\frac {S_{\triangle ADE}}{S_{四边形BCED}}= \frac {4}{9}$
D. $\frac {S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle BCD}}= \frac {2}{5}$

答案： C

互动题3-2 已知两个相似三角形的对应中线的比是$3:2$,面积之和是65,则这两个三角形对应角平分线的比是$3:2$,较大三角形的面积是45.

答案： $3:2$ 45

互动题3-3 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 8$,$BC= 6$,$P是AB$上的动点,连结$PD与对角线AC相交于点E$.若$CE= 6$,则$AP$的长为____$\frac {16}{3}$.

答案： $\frac {16}{3}$

互动题3-4 如图,$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$E$是重心,点$D在斜边AB$上,$CD经过点E$,作$EF// AB交CB于点F$.若$EF= 6$,求$AB$的长.

答案： 18.

典例4 如图①所示为成都某地以银杏为设计元素的“科技树”,其具有雨水收集、灯光联动等功能.在数学活动课中,小明利用硬纸板自制$Rt\triangle CHM$测量“科技树”的高度,即$AG$的长(如图②).若在$Rt\triangle CHM$中,$CH= 1.2m$,$HM= $
$0.5m$,$E,F$是树干上的两点,目测点$C到地面的距离CD= EF= 2m$,到树干的水平距离$CE= 108.2m$,他通过调整位置,使斜边$CM与点E$在同一直线上,另一条直角边$CH$与“科技树”左侧最高点$A$在同一直线上,$GF= 17m$,求“科技树”$AG$的高度.

答案： 40 m.

互动题4-1 如图所示为某捣碎器的简易示意图,已知支撑柱$AB的高为0.3m$,踏板$DE长为1.6m$,支撑点$A到踏脚D的距离为0.6m$.现在踏脚着地,则捣头点$E$离地面的高度为(B)
A. $0.6m$
B. $0.8m$
C. $1m$
D. $1.2m$

答案： B