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2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边BC$上,已知$\triangle ACD \backsim \triangle BCA$,则下列结论中,一定成立的是(
A. $AC^2 = CD \cdot CB$
B. $AC^2 = AD \cdot CB$
C. $AC \cdot AB = CD \cdot CB$
D. $AC \cdot AD = AB \cdot CB$
A
)A. $AC^2 = CD \cdot CB$
B. $AC^2 = AD \cdot CB$
C. $AC \cdot AB = CD \cdot CB$
D. $AC \cdot AD = AB \cdot CB$
答案：
A
11. 如图,若$\triangle AED \backsim \triangle ACB$,且$AE = 6$,$EB = 3$,$AD = 7$,则$DC$的长为
$\frac{5}{7}$
。
答案：
$\frac{5}{7}$
12. 如图,$BC$,$AD相交于点C$,已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEC$,$AC = 4.8$,$CD = 1.6$,$BC = 9.3$。
(1)求$CE$的长。
(2)求证：$BC \perp AD$。
(1)求$CE$的长。
(2)求证：$BC \perp AD$。
答案：
1. （1）
因为$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$。
已知$AC = 4.8$，$CD = 1.6$，$BC = 9.3$，将其代入$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$中，即$\frac{4.8}{1.6}=\frac{9.3}{CE}$。
由$\frac{4.8}{1.6}=\frac{9.3}{CE}$，根据比例的性质“内项之积等于外项之积”，可得$4.8CE=1.6×9.3$。
则$CE=\frac{1.6×9.3}{4.8}$，$1.6÷4.8=\frac{1}{3}$，所以$CE = 3.1$。
2. （2）
解：因为$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$，所以$\angle ACB=\angle DCE$。
又因为$\angle ACB+\angle DCE = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$。
所以$BC\perp AD$。
综上，（1）$CE$的长为$3.1$；（2）证明如上。
因为$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$。
已知$AC = 4.8$，$CD = 1.6$，$BC = 9.3$，将其代入$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$中，即$\frac{4.8}{1.6}=\frac{9.3}{CE}$。
由$\frac{4.8}{1.6}=\frac{9.3}{CE}$，根据比例的性质“内项之积等于外项之积”，可得$4.8CE=1.6×9.3$。
则$CE=\frac{1.6×9.3}{4.8}$，$1.6÷4.8=\frac{1}{3}$，所以$CE = 3.1$。
2. （2）
解：因为$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$，所以$\angle ACB=\angle DCE$。
又因为$\angle ACB+\angle DCE = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$。
所以$BC\perp AD$。
综上，（1）$CE$的长为$3.1$；（2）证明如上。
13. 如图,$DE是\triangle ABC$的中位线,延长$DE至点F$,使$EF = DE$,连结$CF$。求证：$\triangle CFE \backsim \triangle ABC$。
答案：
【解析】：
- 因为$DE$是$\triangle ABC$的中位线，根据中位线定理，所以$AE = CE$，$DE// BC$，则$\angle AED=\angle BCA$。
- 在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CE\\\angle AED=\angle CEF\\DE = FE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CFE$。
- 由$\triangle ADE\cong\triangle CFE$，所以$\angle A=\angle ECF$。
- 又因为$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，$DE = EF$，所以$DF = BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
- 因为$\angle A=\angle ECF$，$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$（中位线性质$AE = CE$，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$），即$\frac{EF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$。
【答案】：
因为$DE$是$\triangle ABC$中位线，所以$AE = CE$，$DE// BC$，$\angle AED=\angle BCA$。在$\triangle ADE$与$\triangle CFE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CE\\\angle AED=\angle CEF\\DE = FE\end{array}\right.$，$\triangle ADE\cong\triangle CFE(SAS)$，$\angle A=\angle ECF$。又$EF=\frac{1}{2}BC$，$\frac{EF}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
- 因为$DE$是$\triangle ABC$的中位线，根据中位线定理，所以$AE = CE$，$DE// BC$，则$\angle AED=\angle BCA$。
- 在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CE\\\angle AED=\angle CEF\\DE = FE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CFE$。
- 由$\triangle ADE\cong\triangle CFE$，所以$\angle A=\angle ECF$。
- 又因为$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，$DE = EF$，所以$DF = BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
- 因为$\angle A=\angle ECF$，$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$（中位线性质$AE = CE$，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$），即$\frac{EF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$。
【答案】：
因为$DE$是$\triangle ABC$中位线，所以$AE = CE$，$DE// BC$，$\angle AED=\angle BCA$。在$\triangle ADE$与$\triangle CFE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CE\\\angle AED=\angle CEF\\DE = FE\end{array}\right.$，$\triangle ADE\cong\triangle CFE(SAS)$，$\angle A=\angle ECF$。又$EF=\frac{1}{2}BC$，$\frac{EF}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
14. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 9$,$BC = 15$,$P$,$Q分别是线段BC$,$CD$上的点,且$CQ = 4$,$\triangle ABP与\triangle PCQ$相似,求$BP$的长。
答案：
3 或 12 或$\frac{135}{13}$.
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