《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

11. 如图,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形,$AB= AC$,$∠BCA= 65^{\circ }$。过点$C作CD// AB$,与$\odot O相交于点D$,连结$BD$,则$∠DBC$的度数为(A)
A. $15^{\circ }$
B. $25^{\circ }$
C. $35^{\circ }$
D. $45^{\circ }$

答案： A

12. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,弦$CD与AB相交于点E$,$∠ABC= 55^{\circ }$,$∠ABD= 65^{\circ }$,则$∠AEC$的度数为(C)
A. $30^{\circ }$
B. $60^{\circ }$
C. $80^{\circ }$
D. $100^{\circ }$

答案： C

13. 如图,$C$,$D两点在以AB$为直径的圆上,$AD= 2$,$∠ACD= 30^{\circ }$,则$\odot O$的半径为____2。

答案： 2

14. 如图,$AB为\odot O$的直径,$\overset{\frown }{AC}= \overset{\frown }{AD}$,若$∠B= 35^{\circ }$,则$∠A$的度数为$55^{\circ} $。

答案： $ 55^{\circ} $

15. 如图,点$A$,$B$,$C$,$D在\odot O$上,$AC是\odot O$的直径,$BD平分∠ABC$。
(1)若$∠ACB= 25^{\circ }$,求$∠BDC$的度数。
(2)若$E是弦BD$上一点,且$AE平分∠CAB$,求证：$DA= DE$。

答案： 1. （1）
因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$\angle ACB = 25^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC - \angle ACB$，即$\angle BAC = 180^{\circ}-90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC = 45^{\circ}$。
又因为$\angle BDC$与$\angle BAC$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle BDC=\angle BAC = 65^{\circ}$。
2. （2）
证明：
因为$AE$平分$\angle CAB$，$BD$平分$\angle ABC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BAC$与$\angle BDC$所对弧为$\overset{\frown}{BC}$。
设$\angle BAE=\angle EAC = x$，$\angle ABD=\angle DBC = y$，由$\angle ABC = 90^{\circ}$，则$2y = 90^{\circ}$，$y = 45^{\circ}$。
因为$\angle AED$是$\triangle ABE$的外角，根据三角形外角性质$\angle AED=\angle BAE+\angle ABD$，所以$\angle AED=x + 45^{\circ}$。
又因为$\angle DAC$与$\angle DBC$所对弧为$\overset{\frown}{DC}$，所以$\angle DAC=\angle DBC = 45^{\circ}$，则$\angle DAE=\angle DAC+\angle EAC=x + 45^{\circ}$。
所以$\angle DAE=\angle AED$。
根据等角对等边，在$\triangle ADE$中，可得$DA = DE$。
综上，（1）$\angle BDC = 65^{\circ}$；（2）证明过程如上述。

16. 如图,以$AB为直径作\triangle ABC$的外接圆,点$O$为圆心,点$C恰好在\odot O$上,$∠ACB的平分线交\odot O于点D$,连结$BD$。
(1)若$∠ABC= 20^{\circ }$,求$∠D$的度数。
(2)若$AC= 1$,$BD= \sqrt {5}$,求$BC与CD$的长。

答案：
(1)$ 70^{\circ} $.
(2)BC 的长为 3，CD 的长为 $ 2\sqrt{2} $.