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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
11. 不等式$\mathrm{A}_{8}^{x}＜6 × \mathrm{A}_{8}^{x-2}$的解集为 (
A.$\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 8\}$
B.$\{x \mid 7＜x＜12\}$
C.$\{x \mid 7＜x＜12, x \in \mathbf{N}^*\}$
D.$\{8\}$
D
)A.$\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 8\}$
B.$\{x \mid 7＜x＜12\}$
C.$\{x \mid 7＜x＜12, x \in \mathbf{N}^*\}$
D.$\{8\}$
答案：
11.D
12.(多选题)(2024·渭南段考)排列数$\mathrm{A}_{n}^{r}(n＞r＞1, n, r \in \mathbf{N}^*)$恒等于 (
A.$\frac{r}{n} \mathrm{A}_{n-1}^{r-1}$
B.$n(n-1) \mathrm{A}_{n-2}^{r-2}$
C.$n r \mathrm{A}_{n-1}^{r-1}$
D.$n \mathrm{A}_{n-1}^{r-1}$
BD
)A.$\frac{r}{n} \mathrm{A}_{n-1}^{r-1}$
B.$n(n-1) \mathrm{A}_{n-2}^{r-2}$
C.$n r \mathrm{A}_{n-1}^{r-1}$
D.$n \mathrm{A}_{n-1}^{r-1}$
答案：
12.BD
13. 若集合$P=\left\{x \mid x=\mathrm{A}_{m}^{m}, m \in \mathbf{N}^*\right\}$，则集合$P$中共有
3
个元素.
答案：
13.3
14. (1) 计算：$\frac{\mathrm{A}_{8}^{5}+\mathrm{A}_{8}^{4}}{\mathrm{A}_{9}^{6}-\mathrm{A}_{9}^{5}}=$
(2) 化简：$\mathrm{A}_{1}^{1}+2 \mathrm{A}_{2}^{2}+3 \mathrm{A}_{3}^{3}+·s+n \mathrm{A}_{n}^{n}=$
$\frac{5}{27}$
；(2) 化简：$\mathrm{A}_{1}^{1}+2 \mathrm{A}_{2}^{2}+3 \mathrm{A}_{3}^{3}+·s+n \mathrm{A}_{n}^{n}=$
$\mathrm{A}_{n + 1}^{n + 1}-1$
.
答案：
14.
(1)$\frac{5}{27}$
(2)$A_{n + 1}^{n + 1}-1$
(1)$\frac{5}{27}$
(2)$A_{n + 1}^{n + 1}-1$
15. 一条铁路线上原有$n$个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了$m$个$(m＞1)$车站，客运车票增加了58种，则$n=$
14
，$m=$2
.
答案：
15.14 2
16. 核心素养 逻辑推理 求证：$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$，并利用这一结论化简：
(1)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{9}{10!}$；
(2)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{n}{(n+1)!}$.
(1)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{9}{10!}$；
(2)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{n}{(n+1)!}$.
答案：
16.解：证明：由$n!=n·(n - 1)·(n - 2)·s2×1$，可得$(n + 1)!=(n + 1)· n!$，则$\frac{n}{(n + 1)!}=\frac{(n + 1)-1}{(n + 1)!}=\frac{n + 1}{(n + 1)!}-\frac{1}{(n + 1)!}=\frac{1}{(n + 1 - 1)!}-\frac{1}{(n + 1)!}$。
(1)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{9}{10!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+·s+\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}=1-\frac{1}{10!}$
(2)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{n}{(n + 1)!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+·s+\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n + 1)!}=1-\frac{1}{(n + 1)!}$
(1)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{9}{10!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+·s+\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}=1-\frac{1}{10!}$
(2)$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+·s+\frac{n}{(n + 1)!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+·s+\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n + 1)!}=1-\frac{1}{(n + 1)!}$
17.(2025·惠州段考)若$S=0!+1!+2!+3!+·s+100!$，则$S$的个位数字是 (
A.0
B.3
C.4
D.8
C
)A.0
B.3
C.4
D.8
答案：
17.C
18. 新定义 规定$\mathrm{A}_{x}^{m}=x(x-1) ·s(x-m+1)$，其中$x \in \mathbf{R}, m$为正整数，且$\mathrm{A}_{x}^{0}=1$，这是排列数$\mathrm{A}_{n}^{m}(n, m$是正整数，且$m \leqslant n)$的一种推广.
(1) 求$\mathrm{A}_{-15}^{3}$的值.
(2) 排列数有以下两个性质：①$\mathrm{A}_{n}^{m}=n \mathrm{A}_{n-1}^{m-1}$；②$\mathrm{A}_{n}^{m}+m \mathrm{A}_{n}^{m-1}=\mathrm{A}_{n+1}^{m}(n, m$是正整数，且$m \leqslant n)$. 这两个性质是否都能推广到$\mathrm{A}_{x}^{m}(x \in \mathbf{R}, m$是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能推广，请说明理由.
(1) 求$\mathrm{A}_{-15}^{3}$的值.
(2) 排列数有以下两个性质：①$\mathrm{A}_{n}^{m}=n \mathrm{A}_{n-1}^{m-1}$；②$\mathrm{A}_{n}^{m}+m \mathrm{A}_{n}^{m-1}=\mathrm{A}_{n+1}^{m}(n, m$是正整数，且$m \leqslant n)$. 这两个性质是否都能推广到$\mathrm{A}_{x}^{m}(x \in \mathbf{R}, m$是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能推广，请说明理由.
答案：
18.解：
(1)$A_{15}^{3}=(-15)×(-16)×(-17)= - 4080$。
(2)性质①，②均可推广，推广的形式如下：①$A_{x}^{m}=xA_{x - 1}^{m - 1}$；②$A_{x}^{m}+mA_{x}^{m - 1}=A_{x + 1}^{m}(x\in R,m$是正整数)。证明：在①中，当$m = 1$时，左边$=A_{x}^{1}=x$，右边$=xA_{x - 1}^{0}=x$，等式成立；当$m\geqslant2$时，左边$=x(x - 1)(x - 2)·s(x - m + 1)=x\{(x - 1)(x - 2)·s[(x - 1)-(m - 1)+1]\}=xA_{x - 1}^{m - 1}=$右边，因此$A_{x}^{m}=xA_{x - 1}^{m - 1}(x\in R,m$是正整数)成立.在②中，当$m = 1$时，左边$=A_{x}^{1}+A_{x}^{0}=x + 1 = A_{x + 1}^{1}=$右边，等式成立；当$m\geqslant2$时，左边$=x(x - 1)(x - 2)·s(x - m + 1)+mx(x - 1)(x - 2)·s(x - m + 2)=(x + 1)x(x - 1)(x - 2)·s[(x + 1)-m + 1]=A_{x + 1}^{m}=$右边，因此$A_{x}^{m}+mA_{x}^{m - 1}=A_{x + 1}^{m}(x\in R,m$是正整数)成立.
(1)$A_{15}^{3}=(-15)×(-16)×(-17)= - 4080$。
(2)性质①，②均可推广，推广的形式如下：①$A_{x}^{m}=xA_{x - 1}^{m - 1}$；②$A_{x}^{m}+mA_{x}^{m - 1}=A_{x + 1}^{m}(x\in R,m$是正整数)。证明：在①中，当$m = 1$时，左边$=A_{x}^{1}=x$，右边$=xA_{x - 1}^{0}=x$，等式成立；当$m\geqslant2$时，左边$=x(x - 1)(x - 2)·s(x - m + 1)=x\{(x - 1)(x - 2)·s[(x - 1)-(m - 1)+1]\}=xA_{x - 1}^{m - 1}=$右边，因此$A_{x}^{m}=xA_{x - 1}^{m - 1}(x\in R,m$是正整数)成立.在②中，当$m = 1$时，左边$=A_{x}^{1}+A_{x}^{0}=x + 1 = A_{x + 1}^{1}=$右边，等式成立；当$m\geqslant2$时，左边$=x(x - 1)(x - 2)·s(x - m + 1)+mx(x - 1)(x - 2)·s(x - m + 2)=(x + 1)x(x - 1)(x - 2)·s[(x + 1)-m + 1]=A_{x + 1}^{m}=$右边，因此$A_{x}^{m}+mA_{x}^{m - 1}=A_{x + 1}^{m}(x\in R,m$是正整数)成立.
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