《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

9. (2024·绵阳期末) 已知随机变量 $X$ 的分布列为

若 $E(X) = 0$，则 $\sqrt{D(3X - 1)} =$ $2\sqrt{3}$.

答案： $9. 2\sqrt{3}$

10. (2025·济宁期中) 某公司销售员统计了自己 $3$ 月出差一次离公司的距离 $X$ (单位：km) 可能的取值为 $20,30,32,36$，它们发生的概率依次是 $0.1,0.3,2t,t$.
(1) 求 $X$ 的均值和方差.
(2) 若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步 $5$ 元，若出差距离不超过 $3$ km，则补贴 $5$ 元；若出差距离超过 $3$ km，则超过 $3$ km 的部分按照每超出 $1$ km (不足 $1$ km 的也按 $1$ km 计算) 补贴 $3$ 元. 求此销售员 $3$ 月出差一次所获的油费补贴的均值和方差.

答案：
10. 解：
(1) 由题意，得 0.1 + 0.3 + 2t + t = 1，解得 t =
0.2.所以 X 的分布列为

所以 E(X) = 20 × 0.1 + 30 × 0.3 + 32 × 0.4 + 36 × 0.2 =
$31,D(X) = (20 - 31)^2 × 0.1 + (30 - 31)^2 × 0.3 + (32 -$
$31)^2 × 0.4 + (36 - 31)^2 × 0.2 = 17.8. (2) $设此销售员
3 月出差一次所获的油费补贴为 Y 元.由题意，得 Y =
$3(X - 3) + 5 = 3X - 4(X ＞ 3, X \in N)，$所以 E(Y) =
E(3X - 4) = 3E(X) - 4 = 3 × 31 - 4 = 89,D(Y) = D(3X -
$4) = 3^2 D(X) = 3^2 × 17.8 = 160.2.$

11. 核心素养 逻辑推理 (2025·沈阳阶段练习) 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分 $n$ 关 ($n \in \mathbf{N}^*,n \geq 2$)，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者 $n$ 关都挑战成功时，挑战比赛结束. 若甲每一关挑战成功的概率均为 $p(0 ＜ p ＜ 1)$，乙每一关挑战成功的概率均为 $q(0 ＜ q ＜ 1)$，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响.
(1) 若甲先上场，$p = \frac{1}{2},q = \frac{1}{3},n = 2$.
① 求挑战没有一关成功的概率；
② 设 $X$ 为挑战比赛结束时挑战成功的关卡个数，求 $E(X)$ 和 $D(X)$.
(2) 如果 $n$ 关都挑战成功，那么比赛挑战成功. 试判断甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率是否相同.

答案： 11. 解：
(1) ① 记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为
P，则$ P = (1 - p)(1 - q) = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} = \frac{1}{3} ② $由题意可
知，X 的可能取值为$ 0,1,2.P(X = 0) = \frac{1}{3}，$P(X = 1) =
$p(1 - p)(1 - q) + (1 - p)q(1 - q) = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{2}{3} + \frac{1}{2} ×$
$\frac{1}{3} × \frac{2}{3} = \frac{5}{18}，$$P(X = 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = \frac{7}{18}，$
所以$ E(X) = 0 × \frac{1}{3} + 1 × \frac{5}{18} + 2 × \frac{7}{18} = \frac{19}{18}，$D(X) =
$(0 - \frac{19}{18})^2 × \frac{1}{3} + (1 - \frac{19}{18})^2 × \frac{5}{18} + (2 - \frac{19}{18})^2 × \frac{7}{18} = \frac{233}{324}$
(2) 设甲先上场比赛挑战成功的概率为$ p_1，$乙先上场比赛
挑战成功的概率为$ p_2.p_1 = p^n + p^{n - 1}(1 - p)q + p^{n - 2}(1 -$
$p)q^2 + ·s + (1 - p)q^n = p^n + p^{n - 1}q - p^n q + p^{n - 2}q^2 -$
$p^{n - 1}q^2 + ·s + q^n - pq^n = p^n + q^n - pq^n，$$p_2 = q^n + q^{n - 1}(1 -$
$q)p + q^{n - 2}(1 - q)p^2 + ·s + (1 - q)p^n = q^n + q^{n - 1}p -$
$q^{n - 2}p^2 + ·s + p^n - qp^n = q^n + p^n - qp^n，$所
以$ p_1 = p_2，$即甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率
相同.