《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 某大学有5个门，学生若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同的走法种数共有
(C)

A.5
B.20
C.25
D.50

答案： 1.C 解析：依题意，得学生从任意一个门进，有5种方法；从任意一个门出，也有5种方法.所以由分步乘法计数原理，得不同的走法种数共有5×5=25.故选C.

2. 满足不等式$\frac{A_{n}^{9}}{A_{n}^{n}}＜3(n\in N^{*})$的$n$的值为 (C)

A.9
B.10
C.9或10
D.12

答案： 2.C 解析：由题意，得$\frac{n(n-1)(n-2)· · · · · (n-8)}{n(n-1)(n-2)· · · · · (n-7)}＜3，$即n-8＜3，所以n＜11.又因为$n\in N^*，$且$n\ge 9，$所以n=9或n=10.故选C.

3. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为$a,b,c$，当且仅当$a＞b$，$b＜c$时称为“凹数”(如213).若$a,b,c\in\{1,2,3,4\}$，且$a,b,c$互不相同，则组成的三位数为“凹数”的有 (C)

A.6个
B.7个
C.8个
D.9个

答案： 3.C 解析：根据题意，分两步进行分析：①在1,2,3,4中任选3个数作为a,b,c，有$C_4^3=4($种)情况.②由于“凹数”要求a＞b,b＜c，故将取出的3个数中的最小数作为b，剩余2个数全排列作为a,c，有$A_2^2=2($种)情况.由分步乘法计数原理，可得组成的三位数为“凹数”的有4×2=8(个).故选C.

4. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器搭乘长征五号遥八运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有A，B，C，D，E，F六位地质学家应邀去甲、乙、丙、丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一位地质学家，每位地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为 (C)

A.288
B.376
C.1 560
D.1 520

答案： 4.C 解析：先将A,B,C,D,E,F六位地质学家分为四组，若分为3,1,1,1的四组，则有$C_6^3=20($种)分组方法；若分为2,2,1,1的四组，则有$\frac{C_6^2C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2A_2^2}=45($种)分组方法.所以共有20+45=65(种)分组方法.再将四组派遣到四所中学，有$A_4^4=24($种)派遣方法.所以共有65×24=1560(种)不同的派遣方法.故选C.

5. 已知$(2\sqrt[3]{x}-\frac{1}{3\sqrt{x}})^{n}$的展开式的第2项系数的绝对值等于第3项系数的绝对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为 (C)

A.$\frac{80}{9}$和$\frac{40}{27}x^{-\frac{5}{6}}$
B.$-\frac{80}{9}$和$\frac{40}{27}x^{-\frac{5}{6}}$
C.$\frac{80}{9}$和$-\frac{40}{27}x^{-\frac{5}{6}}$
D.$-\frac{80}{9}$和$-\frac{40}{27}x^{-\frac{5}{6}}$

答案： 5.C 解析：$(2\sqrt[3]{x}-\frac{1}{3\sqrt{x}})^n$的展开式的通项为$T_{k+1}=2^{n-k}· (-\frac{1}{3})^kC_n^k x^{\frac{2n-5k}{6}}.$依题意可知，$2^{n-1}× \frac{1}{3}× n=3× 2^{n-2}× (\frac{1}{3})^1× \frac{n(n-1)}{2}，$所以n=5.所以展开式中的二项式系数最大的项为$T_3=\frac{80}{9}$和$T_4=-\frac{40}{27}x^{-\frac{5}{6}}.$故选C.

6. 将编号分别为1,2,3,4,5,6,7的小球放入编号分别为1,2,3,4,5,6,7的七个盒子，每个盒子中只放1个小球.若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为 (A)

A.315
B.640
C.840
D.5 040

答案： 6.A 解析：有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的放法有$C_7^3=35($种)，将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有9(种)放法.所以不同的放法种数为35×9=315.故选A.

7. 在$(2+\sqrt{x})^{2n+1}$的展开式中，$x$的幂指数是整数的各项系数之和为 (D)

A.$3^{2n+1}-1$
B.$3^{2n+1}+1$
C.$\frac{3^{2n+1}-1}{2}$
D.$\frac{3^{2n+1}+1}{2}$

答案： 7.D 解析：设$A=(2+\sqrt{x})^{2n+1},B=(2-\sqrt{x})^{2n+1}.$由二项式定理知，A与B中的x的整数次幂项之和相同，记作f(x)，非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消，所以$2f(x)=(\sqrt{x}+2)^{2n+1}+(-\sqrt{x}+2)^{2n+1}.$令x=1，则所求的系数之和为$f(1)=\frac{3^{2n+1}+1}{2}.$故选D.