《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

9. 已知$ E(X) + E(2X + 1) = 8 $，则$ E(X) = $ $\frac{7}{3}$。

答案： 9.$\frac{7}{3}$

10. (2025·广东期中)在一堂数学课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一粉笔放入$ A,B,C,D $四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案。若该同学选择了$ A $盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在$ B $盒的条件下，粉笔最终在$ D $盒的概率为 $\frac{3}{8}$。

答案： 10.$\frac{3}{8}$

11. 核心素养 直观想象 有$ A,B,C,D,E,F,G,H $八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军，八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知$ B～H $这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为$\frac{1}{2}$，$ A $运动员与其他运动员对决时，$ A $获胜的概率为$\frac{2}{3}$，每场对决没有平局，且结果相互独立。求：
（1）这八名运动员各自获得冠军的概率；
（2）$ B $与$ A $对决过且最后获得冠军的概率；
（3）$ B $与$ C $对决过且最后获得冠军的概率。

答案：
11.解:
(1)易得A获得冠军的概率为$(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$.因为B~H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为$\frac{1}{2}$，且这八名运动员各自获得冠军的概率之和为1，所以B~H这七名运动员各自获得冠军的概率均为$\frac{1}{7}$×$(1 - \frac{8}{27})=\frac{19}{189}$.
(2)记事件B=“B获得冠军”，事件A=“B与A对决过”，事件$A_i$=“B与A在第i轮对决”，i = 1,2,3.如图，不妨设A在①号位置.若B在第1,2,3轮能与A对决，则其位置编号分别为②,③④,⑤⑥⑦⑧.因为$P(AB)=P(A_1B)+P(A_2B)+P(A_3B)$，且$P(A_1B)=\frac{1}{7}$×$(1 - \frac{2}{3})$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}=\frac{1}{84}$，$P(A_2B)=\frac{2}{7}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$(1 - \frac{2}{3})$×$\frac{1}{2}=\frac{1}{63}$，$P(A_3B)=\frac{4}{7}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$(1 - \frac{2}{3})=\frac{4}{189}$，所以$P(AB)=\frac{1}{84}+\frac{1}{63}+\frac{4}{189}=\frac{37}{756}$，即B与A对决过且最后获得冠军的概率为$\frac{37}{756}$.
(3)记事件C=“B与C对决过”.易知B没有与A对决过且最后获得冠军的概率为$P(\overline{AB})=P(B)-P(AB)=\frac{19}{189}-\frac{37}{756}=\frac{39}{756}$.$P(BC)=P(ABC)+P(\overline{A}BC)=P(AB)P(C|AB)+P(\overline{AB})P(C|\overline{AB})$.由题意，得C~H这六名运动员与B对决过的概率相同，且B获得冠军时共与三名运动员对决.易得$P(C|AB)=\frac{1}{6}$×2=$\frac{1}{3}$，$P(C|\overline{AB})=\frac{1}{6}$×3=$\frac{1}{2}$.所以$P(BC)=\frac{37}{756}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{39}{756}$×$\frac{1}{2}=\frac{191}{4536}$，即B与C对决过且最后获得冠军的概率为$\frac{191}{4536}$.
　　

12. （2025·清远期中）不透明的袋中有20个除标号外其余均相同的球，其中标记上0号的有10个，标记上$ n $号（$ n = 1,2,3,4 $）的有$ n $个。现从袋中任取一球，用$ \varepsilon $表示所取球的标号。
（1）求$ \varepsilon $的分布列、期望和方差；
（2）若$ \mu = a\varepsilon + b $，$ E(\mu) = 1 $，$ D(\mu) = 11 $，试求$ a,b $的值；
（3）若每次取球后不放回，先取一个球记标号为$ X $，再取一个球记标号为$ Y $，求$ Y ＞ 1 $的概率。

答案：
12.解:
(1)$\epsilon$的可能取值为0,1,2,3,4，则$P(\epsilon = 0)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，$P(\epsilon = 1)=\frac{1}{20}$，$P(\epsilon = 2)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$，$P(\epsilon = 3)=\frac{3}{20}$，$P(\epsilon = 4)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$，则$\epsilon$的分布列为

所以$E(\epsilon)=0×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{20}+2×\frac{1}{10}+3×\frac{3}{20}+4×\frac{1}{5}=1.5$，$D(\epsilon)=(0 - 1.5)^2×\frac{1}{2}+(1 - 1.5)^2×\frac{1}{20}+(2 - 1.5)^2×\frac{1}{10}+(3 - 1.5)^2×\frac{3}{20}+(4 - 1.5)^2×\frac{1}{5}=2.75$.
(2)由题意，得$E(\mu)=aE(\epsilon)+b = 1$，$D(\mu)=a^2D(\epsilon)=11$，则$\begin{cases}1.5a + b = 1\\2.75a^2 = 11\end{cases}$，所以$\begin{cases}a = 2\\b = -2\end{cases}$或$\begin{cases}a = -2\\b = 4\end{cases}$.
(3)记事件A表示“Y＞1”.由
(1)可知，$P(X = 0)=\frac{1}{2}$，当X = 0时袋中还剩19个球，其中标号大于1的有2 + 3 + 4 = 9(个)，则$P(Y＞1|X = 0)=\frac{9}{19}$；$P(X = 1)=\frac{1}{20}$，当X = 1时，袋中还剩19个球，其中标号大于1的有2 + 3 + 4 = 9(个)，则$P(Y＞1|X = 1)=\frac{9}{19}$；$P(X＞1)=P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)=\frac{2 + 3 + 4}{20}=\frac{9}{20}$，当X＞1时，袋中还剩19个球，其中标号大于1的有8个，则$P(Y＞1|X＞1)=\frac{8}{19}$.所以$P(A)=P(X = 0)· P(Y＞1|X = 0)+P(X = 1)· P(Y＞1|X = 1)+P(X＞1)· P(Y＞1|X＞1)=\frac{1}{2}×\frac{9}{19}+\frac{1}{20}×\frac{9}{19}+\frac{9}{20}×\frac{8}{19}=\frac{9}{20}$.所以Y＞1的概率为$\frac{9}{20}$.