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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. (多选题)(2025·徐州期中)已知$(3x + 1)(x - 1)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_8x^8$，其中$a_8 \neq 0$，则下列结论正确的是(
A.$n = 7$
B.$a_5 = 126$
C.$a_1 + a_2 + ·s + a_8 = 1$
D.$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 = 128$
ACD
)A.$n = 7$
B.$a_5 = 126$
C.$a_1 + a_2 + ·s + a_8 = 1$
D.$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 = 128$
答案：
1.ACD
2. 核心素养 数学抽象 (2025·山西期中)已知$(1 + x^2)(x + \frac{1}{x^2})^n(n \in \mathbf{N}^*$，且$6 \leq n \leq 10)$的展开式中没有常数项，则$n =$
8
。
答案：
2.8
3. 有下列条件：① 各项系数之和为$-512$；② 常数项为$-17$；③ 各项系数的绝对值之和为$1536$。从中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题。
在$(1 - \frac{2}{x})(1 + x)^n$的展开式中，。求：
(1)展开式中$x^3$项的系数；
(2)$43^n + 5$被$7$除的余数。
在$(1 - \frac{2}{x})(1 + x)^n$的展开式中，。求：
(1)展开式中$x^3$项的系数；
(2)$43^n + 5$被$7$除的余数。
答案：
3.解：
(1)若选条件①:取x=1,则$(-1) · 2^{n} =-512$，解得n=9.所以展开式中$x^{3}$项的系数为$1 × C_{n}^{9} + (-2) × C_{n}^{3} =$
-168.若选条件②:由$(1 - \frac{2}{x})(1 + x)^{n} = (1 + x)^{n} - \frac{2}{x}(1 + x)^{n}$，得常数项为$C_{n}^{0} - 2C_{n}^{1} = -17$，解得n=9.后同条件①.若选条件③:易得$(1 + \frac{2}{x})(1 + x)^{n}$的各项系数之和为1536，取x=1,则$3 · 2^{n} = 1536$，解得n=9.后同条件①.
(2)$43^{9} + 5 = (42 + 1)^{9} + 5 = C_{9}^{0}42^{9} + C_{9}^{1}42^{8} + ·s + C_{9}^{8}42^{1} + 1 + 5 = 42(C_{9}^{0}42^{8} + C_{9}^{1}42^{7} + ·s + C_{9}^{8}) + 6 = 7 × [6(C_{9}^{0}42^{8} + C_{9}^{1}42^{7} + ·s + C_{9}^{8})] + 6$，所以$43^{n} + 5$被7除的余数为6.
(1)若选条件①:取x=1,则$(-1) · 2^{n} =-512$，解得n=9.所以展开式中$x^{3}$项的系数为$1 × C_{n}^{9} + (-2) × C_{n}^{3} =$
-168.若选条件②:由$(1 - \frac{2}{x})(1 + x)^{n} = (1 + x)^{n} - \frac{2}{x}(1 + x)^{n}$，得常数项为$C_{n}^{0} - 2C_{n}^{1} = -17$，解得n=9.后同条件①.若选条件③:易得$(1 + \frac{2}{x})(1 + x)^{n}$的各项系数之和为1536，取x=1,则$3 · 2^{n} = 1536$，解得n=9.后同条件①.
(2)$43^{9} + 5 = (42 + 1)^{9} + 5 = C_{9}^{0}42^{9} + C_{9}^{1}42^{8} + ·s + C_{9}^{8}42^{1} + 1 + 5 = 42(C_{9}^{0}42^{8} + C_{9}^{1}42^{7} + ·s + C_{9}^{8}) + 6 = 7 × [6(C_{9}^{0}42^{8} + C_{9}^{1}42^{7} + ·s + C_{9}^{8})] + 6$，所以$43^{n} + 5$被7除的余数为6.
4. 教材改编 P34T1(1) 在$(1 + x)^3 + (1 + x)^4 + ·s + (1 + x)^{11}$的展开式中，含$x^2$项的系数为
219
(结果用数字表示)。
答案：
4.219
5. （2025·宿迁期中）已知$f(x) = (1 + 2x)^m + (1 + x)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_nx^n(m \in \mathbf{N}^*, n \in \mathbf{N}^*, m \leq n)$。
（1）若$m = 3$，$n = 7$，求：
① $a_1 + a_2 + a_3 + ·s + a_n$的值；
② $a_1 + a_3 + a_5 + ·s + a_n$的值。
（2）若$a_1 = 20$，求$a_2$的最小值。
（1）若$m = 3$，$n = 7$，求：
① $a_1 + a_2 + a_3 + ·s + a_n$的值；
② $a_1 + a_3 + a_5 + ·s + a_n$的值。
（2）若$a_1 = 20$，求$a_2$的最小值。
答案：
5.解：
(1)因为m=3,n=7,所以$(1 + 2x)^{3} + (1 + x)^{7} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{7}x^{7}$.①令x=0,得$a_{0} = 2$;令x=1,得$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{7} = 3^{3} + 2^{7} = 155$，所以$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n} = a_{1} + a_{2} + ·s + a_{7} = 153$.②令x=-1,得$a_{0} - a_{1} + a_{2} - ·s - a_{7} = -1$.由①,得$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{7} = 155$，所以$a_{1} + a_{3} + ·s + a_{n} = a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = \frac{155 - (-1)}{2} = 78$.
(2)由$a_{1} = 2C_{m}^{1} + C_{n}^{1} = 20$，得2m+n=
20,所以易得n=20-2m,m=1,2,$·s$,6.当m=1时,n=18,$a_{2} = C_{18}^{2} = 153$;当m$\geq$2时，$a_{2} = 2^{2}C_{m}^{2} + C_{n}^{2} = 2m^{2} - 2m + \frac{n^{2} - n}{2} = 4m^{2} - 41m + 190$.结合二次函数的性质可知，当m=5时，$(a_{2})_{\min} = 85 ＜ 153$，所以$a_{2}$的最小值为85.
(1)因为m=3,n=7,所以$(1 + 2x)^{3} + (1 + x)^{7} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{7}x^{7}$.①令x=0,得$a_{0} = 2$;令x=1,得$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{7} = 3^{3} + 2^{7} = 155$，所以$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n} = a_{1} + a_{2} + ·s + a_{7} = 153$.②令x=-1,得$a_{0} - a_{1} + a_{2} - ·s - a_{7} = -1$.由①,得$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{7} = 155$，所以$a_{1} + a_{3} + ·s + a_{n} = a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = \frac{155 - (-1)}{2} = 78$.
(2)由$a_{1} = 2C_{m}^{1} + C_{n}^{1} = 20$，得2m+n=
20,所以易得n=20-2m,m=1,2,$·s$,6.当m=1时,n=18,$a_{2} = C_{18}^{2} = 153$;当m$\geq$2时，$a_{2} = 2^{2}C_{m}^{2} + C_{n}^{2} = 2m^{2} - 2m + \frac{n^{2} - n}{2} = 4m^{2} - 41m + 190$.结合二次函数的性质可知，当m=5时，$(a_{2})_{\min} = 85 ＜ 153$，所以$a_{2}$的最小值为85.
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