《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

14. (2025·榆林期中)某市在历史文化街区举办传统民俗文化庙会. 庙会设有 7 个传统手工艺展示区、11 个地方美食摊位区和 3 个民俗表演舞台区，街区总面积约为 2 万平方米. 游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会.
(1) 若游客甲准备在 7 个传统手工艺展示区和 3 个民俗表演舞台区中随机选取 2 个区域游览，设甲游览传统手工艺展示区的区域数量为$X$个，求$X$的分布列及数学期望.
(2) 为了解游客的体验感受，主办方随机询问了 350 名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式的统计数据如下表：

经统计发现，若游客乘坐复古三轮车逛庙会，则能逛完所有区域的频率为$\frac{2}{3}$；若游客骑共享单车逛庙会，则能逛完所有区域的频率为$\frac{5}{12}$；若游客步行逛庙会，则能逛完所有区域的频率为$\frac{3}{17}$. 以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率.

答案：
14. 解：
(1)由题意知，X所有的可能取值为0,1,2,则$P(X=0)=\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{0}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{15}，$$P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{7}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15}，$P(X
$=2)=\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{0}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15}。$X的分布列为

所以$E(X)=0×\frac{1}{15}+1×\frac{7}{15}+2×\frac{7}{15}=\frac{7}{5}。$
(2)记事件A为“游客乙乘坐复古三轮车逛庙会”，事件B为“游客乙骑共享单车逛庙会”，事件C为“游客乙步行逛庙会”，事件M为“游览结束时，乙能逛完所有区域”。由题意可知，$P(A)=\frac{6}{35}，$$P(B)=\frac{12}{35}，$$P(C)=\frac{17}{35}，$P(M|$A)=\frac{2}{3}，$P(M|$B)=\frac{5}{12}，$P(M|$C)=\frac{3}{17}。$由全概率公式，可得P(M)=
P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|$C)=\frac{6}{35}×\frac{2}{3}+\frac{12}{35}×\frac{5}{12}+\frac{17}{35}×\frac{3}{17}=\frac{12}{35}，$所以游览结束时，乙能逛完所有区域的概率为$\frac{12}{35}。$

15. (2024·漯河阶段练习)为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取 3 人做问卷调查. 已知某单位有$N$名员工，其中$\frac{2}{5}$是男性，$\frac{3}{5}$是女性.
(1) 当$N = 10$时，求出 3 人中男性员工人数$X$的分布列和数学期望.
(2) 我们知道，当总量$N$足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布. 现从全市范围内考虑，从$N$名员工(男女比例不变)中随机抽取 3 人，在超几何分布中男性员工恰有 2 人的概率记作$P_1$；在二项分布中，男性员工的人数$X \sim B(3, \frac{2}{5})$，男性员工恰有 2 人的概率记作$P_2$. 当$N$至少为多少时，我们可以在误差不超过 0.001 (即$P_1 - P_2 \leq 0.001$) 的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据：$\sqrt{578} \approx 24.04$)？

答案：
15. 解：
(1)由题意，得当N=10时，男性员工有4人，女性员工有6人，X服从超几何分布，且X所有可能的值为0，
1,2,3,则$P(X=0)=\frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{6}，$$P(X=1)=\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{2}，$
$P(X=2)=\frac{C_{6}^{1}C_{4}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{10}，$$P(X=3)=\frac{C_{4}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{30}。$X的分布列为

所以$E(X)=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=\frac{6}{5}。$
(2)由题意，得男性员工有$\frac{2}{5}N$人，女性员工有$\frac{3}{5}N$人，则
$P_{1}=\frac{C_{\frac{2}{5}N}^{2}C_{\frac{3}{5}N}^{1}}{C_{N}^{3}}=\frac{\frac{1}{5}N(\frac{2}{5}N - 1)·\frac{3}{5}N}{\frac{1}{6}N(N - 1)(N - 2)}=\frac{18}{25}·\frac{N(\frac{2}{5}N - 1)}{(N - 1)(N - 2)}，$$P_{2}=C_{4}^{2}×(\frac{2}{5})^{2}×\frac{3}{5}=\frac{36}{125}=0.288。$因
为$P_{1}-P_{2}\leq0.001，$所以$\frac{18}{25}·\frac{N(\frac{2}{5}N - 1)}{(N - 1)(N - 2)}-0.288\leq$
0.001，即$\frac{18}{25}·\frac{N(\frac{2}{5}N - 1)}{(N - 1)(N - 2)}\leq0.289=\frac{289}{1000}，$即
$\frac{N(\frac{2}{5}N - 1)}{(N - 1)(N - 2)}\leq\frac{25}{18}×\frac{289}{720}。$由题意知，$N\geq5,$则
(N - 1)(N - 2)＞0，则$720N(\frac{2}{5}N - 1)\leq289(N - 1)·$
(N - 2)，化简，得$N^{2}-147N + 578\geq0。$又因为N＞0，所以
$N+\frac{578}{N}\geq147。$因为函数$y=x+\frac{578}{x}$在区间$(0,\sqrt{578})$上
单调递减，在区间$(\sqrt{578},+\infty)$上单调递增，且$\sqrt{578}\approx$
24.04，所以$y=N+\frac{578}{N}$在区间[5,24]上单调递减，在区间
$[25,+\infty)$上单调递增.因为$5+\frac{578}{5}=120.6$＜147，142+\frac{578}{142}\approx146.07＜147，143+\frac{578}{143}\approx147.04＞147，所以当$N\geq$
143时，符合题意.又考虑到$\frac{2}{5}N$和$\frac{3}{5}N$都是整数，则N
一定是5的整数倍，所以当N至少为145时，我们可以在
误差不超过0.001(即$P_{1}-P_{2}\leq0.001)$的前提下认为超几
何分布近似为二项分布.