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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
6. (2025·合肥段考)$(x^2 + x + y)^{10}$的展开式中$x^{10}y^2$项的系数是
1260
。
答案：
6.1260
7. 已知多项式$(x - \frac{1}{x} + 2)^n$的展开式中所有项的系数之和为$32$，则该展开式中的常数项为
-68
。
答案：
7.-68
8. 在$(x + 2y + 1)^{20}$的展开式中，记含有$x^i(i = 0, 1, 2, ·s, 20)$的所有项的系数之和为$f(i)$。
（1）求$f(3)$的值；
（2）当$f(i)$取得最大值时，求$i$的值。
（1）求$f(3)$的值；
（2）当$f(i)$取得最大值时，求$i$的值。
答案：
8.解：
(1)因为$(x + 2y + 1)^{20} = (2y + 1 + x)^{20} = \sum_{i = 0}^{20}C_{20}^{i}x^{i} · (2y + 1)^{20 - i}$，所以含有$x^{3}$的项的和为$C_{20}^{3}x^{3}(2y + 1)^{17}$，即$C_{20}^{3}x^{3}(C_{17}^{0}2^{17}y^{17} + C_{17}^{1}2^{16}y^{16} + ·s + C_{17}^{17})$.所以$f(3) = C_{20}^{3}(C_{17}^{0}2^{17} + C_{17}^{1}2^{16} + ·s + C_{17}^{17})$.所以$f(3) = C_{20}^{3} × (2 + 1)^{17} = 380 × 3^{18}$.
(2)因为$(x + 2y + 1)^{20} = (2y + 1 + x)^{20} = \sum_{i = 0}^{20}C_{20}^{i}x^{i}(2y + 1)^{20 - i}$，所以含有$x^{4}$的项的和为$C_{20}^{i}x^{i}(2y + 1)^{20 - i}$，即$C_{20}^{4}x^{4}(C_{16}^{0}2^{16}y^{20 - i} + C_{20 - i}^{1}2^{19 - i}y^{19 - i} + ·s + C_{20 - i}^{20 - i})$.取x=1,y=1,可得$f(i) = C_{20}^{i} · 3^{20 - i} = \frac{20!}{i!(20 - i)!} · 3^{20 - i}$.令$f(i) ＞ f(i + 1)$，则$\frac{20!}{i!(20 - i)!} · 3^{20 - i} ＞ \frac{20!}{(i + 1)!(19 - i)!} · 3^{19 - i}$，化简，可得$3(i + 1) ＞ 20 - i$，解得$i ＞ \frac{17}{4}$，则$i \geq 5$.所以$f(5) ＞ f(6) ＞ f(7) ＞ ·s ＞ f(20)$.令$f(i) ＞ f(i - 1)$，则$\frac{20!}{i!(20 - i)!} ·3^{20 - i} ＞ \frac{20!}{(i - 1)!(21 - i)!} · 3^{21 - i}$，解得$i ＜ \frac{21}{4}$，即$i \leq 5$,所以$f(5) ＞ f(4) ＞ f(3) ＞ f(2) ＞ f(1) ＞ f(0)$.所以当i=5
时，f(i)取得最大值.
(1)因为$(x + 2y + 1)^{20} = (2y + 1 + x)^{20} = \sum_{i = 0}^{20}C_{20}^{i}x^{i} · (2y + 1)^{20 - i}$，所以含有$x^{3}$的项的和为$C_{20}^{3}x^{3}(2y + 1)^{17}$，即$C_{20}^{3}x^{3}(C_{17}^{0}2^{17}y^{17} + C_{17}^{1}2^{16}y^{16} + ·s + C_{17}^{17})$.所以$f(3) = C_{20}^{3}(C_{17}^{0}2^{17} + C_{17}^{1}2^{16} + ·s + C_{17}^{17})$.所以$f(3) = C_{20}^{3} × (2 + 1)^{17} = 380 × 3^{18}$.
(2)因为$(x + 2y + 1)^{20} = (2y + 1 + x)^{20} = \sum_{i = 0}^{20}C_{20}^{i}x^{i}(2y + 1)^{20 - i}$，所以含有$x^{4}$的项的和为$C_{20}^{i}x^{i}(2y + 1)^{20 - i}$，即$C_{20}^{4}x^{4}(C_{16}^{0}2^{16}y^{20 - i} + C_{20 - i}^{1}2^{19 - i}y^{19 - i} + ·s + C_{20 - i}^{20 - i})$.取x=1,y=1,可得$f(i) = C_{20}^{i} · 3^{20 - i} = \frac{20!}{i!(20 - i)!} · 3^{20 - i}$.令$f(i) ＞ f(i + 1)$，则$\frac{20!}{i!(20 - i)!} · 3^{20 - i} ＞ \frac{20!}{(i + 1)!(19 - i)!} · 3^{19 - i}$，化简，可得$3(i + 1) ＞ 20 - i$，解得$i ＞ \frac{17}{4}$，则$i \geq 5$.所以$f(5) ＞ f(6) ＞ f(7) ＞ ·s ＞ f(20)$.令$f(i) ＞ f(i - 1)$，则$\frac{20!}{i!(20 - i)!} ·3^{20 - i} ＞ \frac{20!}{(i - 1)!(21 - i)!} · 3^{21 - i}$，解得$i ＜ \frac{21}{4}$，即$i \leq 5$,所以$f(5) ＞ f(4) ＞ f(3) ＞ f(2) ＞ f(1) ＞ f(0)$.所以当i=5
时，f(i)取得最大值.
9. (2025·南京期中)$24^{24} + 2$被$5$除的余数为(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
C
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：
9.C
10. (2025·泰州期中)各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数$(2501)_6$转换为十进制数的算法为$2 × 6^3 + 5 × 6^2 + 0 × 6^1 + 1 × 6^0 = 613$。若将六进制数$\underbrace{55·s5}_{7个5}$转换为十进制数，则转换后的数被$7$除所得的余数是(
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$5$
D
)A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$5$
答案：
10.D
11. 若$3^{2024} - 8 × 1011 + a(a \in \mathbf{N}^*)$能被$64$整除，则正整数$a$的最小值为
55
。
答案：
11.55
12. (2025·安徽期中)$0.99^{10}$的小数点后第三位数字为(
A.$4$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
A
)A.$4$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
答案：
12.A
13. 新定义 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数$\alpha$，$(1 + x)^\alpha = 1 + \frac{\alpha}{1!} · x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} · x^2 + ·s + \frac{\alpha(\alpha - 1) · ·s · (\alpha - k + 1)}{k!} · x^k + ·s$，当$\vert x \vert$比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项，可得$(1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha · x$，并且$\vert x \vert$的值越小，所得结果就越接近真实数据。用这个方法计算$\sqrt{5}$的近似值，可以这样操作：$\sqrt{5} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{4 × (1 + \frac{1}{4})} = 2\sqrt{1 + \frac{1}{4}} \approx 2 × (1 + \frac{1}{2} × \frac{1}{4}) = 2.25$。用这样的方法，估计$\sqrt[4]{17}$的近似值为(
A.$2.015$
B.$2.023$
C.$2.031$
D.$2.083$
C
)A.$2.015$
B.$2.023$
C.$2.031$
D.$2.083$
答案：
13.C
14. 实数$1.996^5$精确到$0.001$的近似值为
31.681
。
答案：
14.31.681
15. $1.02^6$的近似值为
1.13
(精确到$0.01$)。
答案：
15.1.13
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