《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

8. (2024·呼和浩特期中)为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种番茄果实的颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占$\frac {3}{8}$. 果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占$\frac {8}{15}$；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占$\frac {7}{30}$. 根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率为 $\frac{1}{4}$.

答案： 8.$\frac{1}{4}$

9. (2025·沧州阶段练习)“茶文化”在我国源远流长，近年来购买包装茶饮料的消费者日趋增多. 调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比 35％，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过 10 元的概率分别为 0.5，0.7.
(1) 从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 1 名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过 10 元的概率；
(2) 若 1 名消费者购买了单价不超过 10 元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率(结果用分数表示).

答案： 9. 解：
(1) 设“该消费者购买包装茶饮料的单价不超过 $10$ 元”为事件 $A$，“从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 $1$ 名消费者是男性”为事件 $B$。由题意，得 $P(B)=0.35$，$P(\overline{B})=0.65$，$P(A|B)=0.5$，$P(A|\overline{B})=0.7$，所以 $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0.35×0.5+0.65×0.7=0.63$。
(2) 由
(1) 知，事件 $\overline{B}$ 表示“从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 $1$ 名消费者是女性”。由题意，得 $P(\overline{B})=1 - P(B)=0.65$，$P(A|\overline{B})=0.7$，则 $P(\overline{B}|A)=\frac{P(\overline{B})P(A|\overline{B})}{P(A)}=\frac{0.65×0.7}{0.63}=\frac{455}{630}=\frac{13}{18}$。

10. (2025·温州期中)人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策. 我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个不透明的袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有 9 个红球和 1 个白球，乙袋中有 2 个红球和 8 个白球. 我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为$\frac {1}{2}$(先验概率)，再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验. 经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋. 每次试验相互独立.
(1) 求首次试验就结束的概率.
(2) 在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整. 求：
① 选到甲袋的概率；
② 选到乙袋，且第二次试验就结束的概率.

答案： 10. 解：
(1) 设试验一次，“选到甲袋”为事件 $A_1$，“选到乙袋”为事件 $A_2$，“摸出红球”为事件 $B_1$，“摸出白球”为事件 $B_2$。由题意，得 $P(B_1)=P(A_1)P(B_1|A_1)+P(A_2)P(B_1|A_2)=\frac{1}{2}×\frac{9}{10}+\frac{1}{2}×\frac{2}{10}=\frac{11}{20}$，所以首次试验就结束的概率为 $\frac{11}{20}$。
(2) ① 因为 $B_1,B_2$ 是对立事件，所以 $P(B_2)=1 - P(B_1)=\frac{9}{20}$。所以 $P(A_1|B_2)=\frac{P(A_1B_2)}{P(B_2)}=\frac{P(B_2|A_1)P(A_1)}{P(B_2)}=\frac{\frac{1}{10}×\frac{1}{2}}{\frac{9}{20}}=\frac{1}{9}$，即选到甲袋的概率为 $\frac{1}{9}$。 ② 由
(2) ①，得 $P(A_2|B_2)=1 - P(A_1|B_2)=1 - \frac{1}{9}=\frac{8}{9}$。设 $P_i$ 为第 $i$ 次独立试验结束的概率，则 $P_i=\frac{11}{20}$。所以题设概率为 $P(A_2|B_2)P_2=\frac{8}{9}×\frac{11}{20}=\frac{22}{45}$。