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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. 给出下列条件：①第3项与第7项的二项式系数相等；②只有第5项的二项式系数最大；③所有项的二项式系数的和为256.从中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
问题：在$( a x - \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } ) ^ { n } ( a ＞ 0 )$的展开式中，.
(1) 求$n$的值；
(2) 若其展开式中的常数项为112，求其展开式中系数的绝对值最大的项.
问题：在$( a x - \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } ) ^ { n } ( a ＞ 0 )$的展开式中，.
(1) 求$n$的值；
(2) 若其展开式中的常数项为112，求其展开式中系数的绝对值最大的项.
答案：
10. 解：
(1) 若选条件①：由题意，得$C_{n}^{6}=C_{n}^{8}$，所以$n = 2 + 6 = 8$。若选条件②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以$\frac{n}{2}=4$，解得$n = 8$。若选条件③：因为所有项的二项式系数的和为$2^{n}=256$，所以$n = 8$。
(2) $(ax-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{8}(a ＞ 0)$的展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{8}^{k}·(ax)^{8 - k}·(-x^{-\frac{1}{3}})^{k}=(-1)^{k}a^{8 - k}C_{8}^{k}x^{8 - k-\frac{k}{3}}$。令$8-\frac{4}{3}k = 0$，解得$k = 6$。所以常数项为$(-1)^{6}· a^{8 - 6}· C_{8}^{6}=28a^{2}=112$，解得$a^{2}=4$。因为$a ＞ 0$，所以$a = 2$。假设第$(k + 1)$项的系数的绝对值最大，则$C_{8}^{k}2^{8 - k}\geqslant C_{8}^{k - 1}2^{9 - k}$且$C_{8}^{k}2^{8 - k}\geqslant C_{8}^{k + 1}2^{7 - k}$，解得$2\leqslant k\leqslant3$。因为$k\in N$，所以$k = 2$或$k = 3$。当$k = 2$时，$T_{3}=(-1)^{2}×2^{6}× C_{8}^{2}x^{\frac{16}{3}}=1792x^{\frac{16}{3}}$；当$k = 3$时，$T_{4}=(-1)^{3}×2^{5}× C_{8}^{3}x^{4}=-1792x^{4}$。所以其展开式中系数的绝对值最大的项为$1792x^{\frac{16}{3}}$或$-1792x^{4}$。
(1) 若选条件①：由题意，得$C_{n}^{6}=C_{n}^{8}$，所以$n = 2 + 6 = 8$。若选条件②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以$\frac{n}{2}=4$，解得$n = 8$。若选条件③：因为所有项的二项式系数的和为$2^{n}=256$，所以$n = 8$。
(2) $(ax-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{8}(a ＞ 0)$的展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{8}^{k}·(ax)^{8 - k}·(-x^{-\frac{1}{3}})^{k}=(-1)^{k}a^{8 - k}C_{8}^{k}x^{8 - k-\frac{k}{3}}$。令$8-\frac{4}{3}k = 0$，解得$k = 6$。所以常数项为$(-1)^{6}· a^{8 - 6}· C_{8}^{6}=28a^{2}=112$，解得$a^{2}=4$。因为$a ＞ 0$，所以$a = 2$。假设第$(k + 1)$项的系数的绝对值最大，则$C_{8}^{k}2^{8 - k}\geqslant C_{8}^{k - 1}2^{9 - k}$且$C_{8}^{k}2^{8 - k}\geqslant C_{8}^{k + 1}2^{7 - k}$，解得$2\leqslant k\leqslant3$。因为$k\in N$，所以$k = 2$或$k = 3$。当$k = 2$时，$T_{3}=(-1)^{2}×2^{6}× C_{8}^{2}x^{\frac{16}{3}}=1792x^{\frac{16}{3}}$；当$k = 3$时，$T_{4}=(-1)^{3}×2^{5}× C_{8}^{3}x^{4}=-1792x^{4}$。所以其展开式中系数的绝对值最大的项为$1792x^{\frac{16}{3}}$或$-1792x^{4}$。
11. (2025·浙江期中)若$(1-x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+·s+a_nx^n$的展开式中，第3项和第9项的二项式系数相等，则下列判断正确的是 (
A.奇数项的二项式系数之和为$2^9$
B.所有奇数项的系数之和为$-2^9$
C.第6项的系数最大
D.$|a_1|+|a_2|+|a_3|+·s+|a_n|=2^{10}$
A
)A.奇数项的二项式系数之和为$2^9$
B.所有奇数项的系数之和为$-2^9$
C.第6项的系数最大
D.$|a_1|+|a_2|+|a_3|+·s+|a_n|=2^{10}$
答案：
11. A
12. (2024·青岛期中)已知$(2-x)^n$的展开式的二项式系数的和为64，记$f(x)=(2-x)^n$.
(1）若$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+·s+a_nx^n$，求$a_0$的值；
(2）求证：$\frac{f(-\sqrt{5})-f(\sqrt{5})}{\sqrt{5}}$为正整数.
(1）若$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+·s+a_nx^n$，求$a_0$的值；
(2）求证：$\frac{f(-\sqrt{5})-f(\sqrt{5})}{\sqrt{5}}$为正整数.
答案：
12. 解：
(1) 因为$(2 - x)^{n}$的展开式的二项式系数的和为$64$，所以$2^{n}=64$，解得$n = 6$。在$f(x)=(2 - x)^{6}$中，令$x = 0$，得$f(0)=a_{0}=2^{6}=64$。
(2) 证明：$\frac{f(-\sqrt{5})-f(\sqrt{5})}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}×(2+\sqrt{5})^{6}-\frac{1}{\sqrt{5}}×(2-\sqrt{5})^{6}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}[C_{6}^{1}×2^{5}×\sqrt{5}+C_{6}^{3}×2^{3}×(\sqrt{5})^{3}+C_{6}^{5}×2^{1}×(\sqrt{5})^{5}]=64C_{6}^{1}+80C_{6}^{3}+100C_{6}^{5}=2584$，为正整数。
(1) 因为$(2 - x)^{n}$的展开式的二项式系数的和为$64$，所以$2^{n}=64$，解得$n = 6$。在$f(x)=(2 - x)^{6}$中，令$x = 0$，得$f(0)=a_{0}=2^{6}=64$。
(2) 证明：$\frac{f(-\sqrt{5})-f(\sqrt{5})}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}×(2+\sqrt{5})^{6}-\frac{1}{\sqrt{5}}×(2-\sqrt{5})^{6}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}[C_{6}^{1}×2^{5}×\sqrt{5}+C_{6}^{3}×2^{3}×(\sqrt{5})^{3}+C_{6}^{5}×2^{1}×(\sqrt{5})^{5}]=64C_{6}^{1}+80C_{6}^{3}+100C_{6}^{5}=2584$，为正整数。
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