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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
8. (2024·商洛模拟)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道. 2023 年 11 月，某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了 100 个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下表：
(1) 求实数$m$的值，并用组中值(每组的中点值)估计这 100 个购物群销售脐橙总量的平均数.
(2) 假设所有购物群销售脐橙的数量$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$为(1)中的平均数，$\sigma^{2}=14400$. 若该脐橙基地参与销售的购物群约有 1 000 个，销售的脐橙在$[256,616]$(单位：盒)内的购物群为“A 级群”，销售数量小于 256 盒的购物群为“B 级群”，销售数量超过 616 盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励 600 元，每个“A 级群”奖励 100 元，对“B 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金(购物群的个数按四舍五入取整数)？
附：若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu - \sigma\leqslant X\leqslant\mu + \sigma)\approx0.6827$，$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$，$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.
(1) 求实数$m$的值，并用组中值(每组的中点值)估计这 100 个购物群销售脐橙总量的平均数.
(2) 假设所有购物群销售脐橙的数量$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$为(1)中的平均数，$\sigma^{2}=14400$. 若该脐橙基地参与销售的购物群约有 1 000 个，销售的脐橙在$[256,616]$(单位：盒)内的购物群为“A 级群”，销售数量小于 256 盒的购物群为“B 级群”，销售数量超过 616 盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励 600 元，每个“A 级群”奖励 100 元，对“B 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金(购物群的个数按四舍五入取整数)？
附：若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu - \sigma\leqslant X\leqslant\mu + \sigma)\approx0.6827$，$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$，$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.
答案：
8. 解：
(1) 根据题意，得 $12 + 18 + m + 32 + 18 = 100$，解得 $m = 20$。所以估计这 $100$ 个购物群销售脐橙总量的平均数为 $\frac{1}{100} × (150 × 12 + 250 × 18 + 350 × 20 + 450 × 32 + 550 × 18) = 376$ (盒)。
(2) 根据题意，得 $\mu = 376$，$\sigma = 120$，则 $256 = \mu - \sigma$，$616 = \mu + 2\sigma$。所以 $P(256 \leq X \leq 616) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) = \frac{1}{2} × P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) + \frac{1}{2} × P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx \frac{1}{2} × 0.6827 + \frac{1}{2} × 0.9545 = 0.8186$。因为 $1000 × 0.8186 \approx 819$ (个)，所以 “A 级群” 约有 $819$ 个。因为 $P(X ＞ 616) = P(X ＞ \mu + 2\sigma) = \frac{1}{2} [1 - P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)] \approx \frac{1}{2} × (1 - 0.9545) = 0.02275$，所以 $1000 × 0.02275 \approx 23$ (个)。所以 “特级群” 约有 $23$ 个。所以 $819 × 100 + 23 × 600 = 95700$ (元)，即该脐橙基地大约需要准备 $95700$ 元。
(1) 根据题意，得 $12 + 18 + m + 32 + 18 = 100$，解得 $m = 20$。所以估计这 $100$ 个购物群销售脐橙总量的平均数为 $\frac{1}{100} × (150 × 12 + 250 × 18 + 350 × 20 + 450 × 32 + 550 × 18) = 376$ (盒)。
(2) 根据题意，得 $\mu = 376$，$\sigma = 120$，则 $256 = \mu - \sigma$，$616 = \mu + 2\sigma$。所以 $P(256 \leq X \leq 616) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) = \frac{1}{2} × P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) + \frac{1}{2} × P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx \frac{1}{2} × 0.6827 + \frac{1}{2} × 0.9545 = 0.8186$。因为 $1000 × 0.8186 \approx 819$ (个)，所以 “A 级群” 约有 $819$ 个。因为 $P(X ＞ 616) = P(X ＞ \mu + 2\sigma) = \frac{1}{2} [1 - P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)] \approx \frac{1}{2} × (1 - 0.9545) = 0.02275$，所以 $1000 × 0.02275 \approx 23$ (个)。所以 “特级群” 约有 $23$ 个。所以 $819 × 100 + 23 × 600 = 95700$ (元)，即该脐橙基地大约需要准备 $95700$ 元。
9. (2024·哈尔滨期末)根据中华人民共和国国家标准，$P_{1}$级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于 95％的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布$N(0.97,8.1×10^{-5})$.
(1) 某质检员随机从生产线抽检 10 件产品，测量出一件产品的滤烟效率为 93.0％. 他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况. 请你依据所学知识，判断该质检员的要求是否合理，并简要说明判断的依据.
(2) 该工厂将滤烟效率达到 95.2％以上的综合过滤件定义为“优质品”.
① 求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
② 该企业生产了 1 000 件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记$X$为这 1 000 件产品中“优质品”的件数，则$X$为多少的概率最大？
附：若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu - \sigma\leqslant X\leqslant\mu + \sigma)\approx0.6827$，$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$，$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.
(1) 某质检员随机从生产线抽检 10 件产品，测量出一件产品的滤烟效率为 93.0％. 他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况. 请你依据所学知识，判断该质检员的要求是否合理，并简要说明判断的依据.
(2) 该工厂将滤烟效率达到 95.2％以上的综合过滤件定义为“优质品”.
① 求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
② 该企业生产了 1 000 件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记$X$为这 1 000 件产品中“优质品”的件数，则$X$为多少的概率最大？
附：若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu - \sigma\leqslant X\leqslant\mu + \sigma)\approx0.6827$，$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$，$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.
答案：
9. 解：
(1) 该质检员的要求合理。由过滤件的滤烟效率服从正态分布 $N(0.97, 8.1 × 10^{-5})$，得 $\sigma^2 = 8.1 × 10^{-5} = (9 × 10^{-3})^2$，则 $\sigma = 9 × 10^{-3} = 0.009$。因为 $0.93 ＜ 0.97 - 0.009 × 3 = 0.943$，所以由 $3\sigma$ 原则可知，生产的产品中滤烟效率在 $3\sigma$ 以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产。
(2) ① 令 $Y$ 表示 “综合过滤件的滤烟效率”，则该生产线生产的一件综合过滤件为 “优质品” 的概率为 $P(Y ＞ 0.952) = P(Y ＞ 0.97 - 2 × 0.009) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{P(0.97 - 2\sigma \leq Y \leq 0.97 + 2\sigma)}{2} \approx 0.97725$。
② 依题意，得 $X \sim B(1000, 0.97725)$。记 $n = 1000$，$p = 0.97725$，则 $P(X = k) = C_{1000}^k p^k (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, 2, ·s, 1000)$。要使可能性最大，则 $\begin{cases}C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} \geq C_n^{k - 1} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k + 1} \\C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} \geq C_n^{k + 1} p^{k + 1} (1 - p)^{n - k - 1} \end{cases}$，即 $\begin{cases} \frac{p}{k} \geq \frac{1 - p}{n + 1 - k} \frac{1 - p}{n - k} \geq \frac{p}{k + 1} \end{cases}$，所以 $(n + 1)p - 1 \leq k \leq (n + 1)p$，即 $977.22725 \leq k \leq 978.22725$。因为 $k \in N^*$，所以 $k = 978$，即 $X$ 为 $978$ 的概率最大。
(1) 该质检员的要求合理。由过滤件的滤烟效率服从正态分布 $N(0.97, 8.1 × 10^{-5})$，得 $\sigma^2 = 8.1 × 10^{-5} = (9 × 10^{-3})^2$，则 $\sigma = 9 × 10^{-3} = 0.009$。因为 $0.93 ＜ 0.97 - 0.009 × 3 = 0.943$，所以由 $3\sigma$ 原则可知，生产的产品中滤烟效率在 $3\sigma$ 以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产。
(2) ① 令 $Y$ 表示 “综合过滤件的滤烟效率”，则该生产线生产的一件综合过滤件为 “优质品” 的概率为 $P(Y ＞ 0.952) = P(Y ＞ 0.97 - 2 × 0.009) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{P(0.97 - 2\sigma \leq Y \leq 0.97 + 2\sigma)}{2} \approx 0.97725$。
② 依题意，得 $X \sim B(1000, 0.97725)$。记 $n = 1000$，$p = 0.97725$，则 $P(X = k) = C_{1000}^k p^k (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, 2, ·s, 1000)$。要使可能性最大，则 $\begin{cases}C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} \geq C_n^{k - 1} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k + 1} \\C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} \geq C_n^{k + 1} p^{k + 1} (1 - p)^{n - k - 1} \end{cases}$，即 $\begin{cases} \frac{p}{k} \geq \frac{1 - p}{n + 1 - k} \frac{1 - p}{n - k} \geq \frac{p}{k + 1} \end{cases}$，所以 $(n + 1)p - 1 \leq k \leq (n + 1)p$，即 $977.22725 \leq k \leq 978.22725$。因为 $k \in N^*$，所以 $k = 978$，即 $X$ 为 $978$ 的概率最大。
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