《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

7. (2024·合肥期末)现有 10 名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取 3 名学生的成绩查看，记这 3 名学生中不合格的人数为$\xi$. 已知$P(\xi = 1) = \frac{21}{40}$，则本次测试的不合格率为 (C)

A.10%
B.20%
C.30%
D.40%

答案： 7.C

8. 口袋中有 6 个球(除颜色外完全相同)，其中有 3 个黑球、2 个红球和 1 个白球，$\xi$表示有放回地摸球 3 次，每次摸一个，摸出红球的个数，$\eta$表示不放回地摸球 3 次，每次摸一个，摸出黑球的个数，则下列结论正确的是(A)

A.$E(\xi) ＜ E(\eta)$
B.$E(\xi) ＞ E(\eta)$
C.$E(\xi) = E(\eta)$
D.无法判断

答案： 8.A

9. (多选题)(2024·聊城期末)如图，我国传统珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁上面 2 颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠. 若从某一档的 7 颗算珠中任选 3 颗，记上珠的个数为$X$，下珠的个数比上珠的个数多$Y$，则下列结论正确的是 (BCD)


A.$P(X \neq 1) = \frac{2}{7}$
B.$E(X) = \frac{6}{7}$
C.$E(Y) = \frac{9}{7}$
D.$D(Y) = \frac{80}{49}$

答案： 9.BCD

10. 50 张彩票中只有 2 张中奖票，现从中任取$n$张，为了使这$n$张彩票里至少有一张中奖的概率大于 0.5，则$n$至少为15.

答案： 10.15

11. 某校高三年级有男生 360 人，女生 240 人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这 600 名学生中抽取 5 人进行问卷调查，再从这 5 名学生中随机抽取 3 人进行数据分析，则这 3 人中既有男生又有女生的概率为$\frac{9}{10}$，记抽取的男生人数为$X$，则随机变量$X$的数学期望为$\frac{9}{5}$.

答案： 11.$\frac{9}{10}$ $\frac{9}{5}$

12. (2024·三明期末)根据超几何分布的概念及分布列的性质计算：$C_{n}^{0}C_{n}^{0} + C_{n}^{1}C_{n}^{1} + C_{n}^{2}C_{n}^{2} + ·s + C_{n}^{n - 1}C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n}C_{n}^{n} =$$C_{2n}^{n}$ (用组合数表示).

答案： 12.$C_{2n}^{n}$

13. (2024·盐城期中)为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在党员教师中开展“学党史”知识竞赛. 甲老师从装有 6 个不同问题的纸盒中依次不放回抽取 4 个问题作答. 已知这 6 个问题中，甲老师能正确回答其中的 4 个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
(1) 求甲老师答对 2 个问题的概率；
(2) 若竞赛过程中答对 1 个问题得 2 分，答错得 0 分，设随机变量$X$表示甲老师的得分，求$E(X)$，$D(X)$.

答案： 13. 解：
(1)设“甲老师答对2个问题”为事件B，则$P(B)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{0}}{C_{4}^{2}}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}，$所以甲老师答对2个问题的概率为$\frac{2}{5}。$
(2)由题意，得X的所有可能取值为4,6,8，所以
$P(X=4)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{5}×\frac{1}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}（$此处原解答逻辑似有跳跃，按原样识别），$P(X=6)=\frac{C_{4}^{3}C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}}=\frac{8}{15}，$
$P(X=8)=\frac{C_{4}^{4}}{C_{6}^{4}}=\frac{1}{15}。$所以$E(X)=4×\frac{2}{5}+6×\frac{8}{15}+8×\frac{1}{15}=\frac{16}{3}。$所以$D(X)=\frac{2}{5}×(4 - \frac{16}{3})^{2}+\frac{8}{15}×(6 - \frac{16}{3})^{2}+\frac{1}{15}×(8 - \frac{16}{3})^{2}=\frac{64}{45}。$