《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

6. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得 150 分，出现两次音乐获得 100 分，出现一次音乐获得 50 分，没有出现音乐获得 $-300$ 分. 设各次击鼓出现音乐的概率为 $p\left(0 ＜ p ＜ \frac{2}{5}\right)$，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 $f(p)$，求 $f(p)$ 的最大值点 $p_{0}$.
（2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了. 设每盘游戏的得分数据为随机变量 $\xi$. 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

答案： 6. 解：
(1) 由题意可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率$f(p)=C_{3}^{1}p(1 - p)^{2}=3p^{3}-6p^{2}+3p$，则$f^{\prime}(p)=3(3p - 1)(p - 1)$。令$f^{\prime}(p)=0$，得$p=\frac{1}{3}$或$p = 1$(不合题意，舍去)。所以当$p\in(0,\frac{1}{3})$时，$f^{\prime}(p)＞0$；当$p\in(\frac{1}{3},\frac{2}{5})$时，$f^{\prime}(p)＜0$。所以$f(p)$在区间$(0,\frac{1}{3})$上单调递增，在区间$(\frac{1}{3},\frac{2}{5})$上单调递减。所以当$p=\frac{1}{3}$时，$f(p)$取得最大值，即$f(p)$的最大值点$p_{0}=\frac{1}{3}$。
(2) 由题意，得$\xi$的所有可能值为$-300$，$50$，$100$，$150$。$P(\xi=-300)=(1 - p)^{3}$，$P(\xi=50)=C_{3}^{1}p(1 - p)^{2}$，$P(\xi=100)=C_{3}^{2}p^{2}(1 - p)$，$P(\xi=150)=p^{3}$，所以$E(\xi)=-300(1 - p)^{3}+50C_{3}^{1}p(1 - p)^{2}+100C_{3}^{2}p^{2}(1 - p)+150p^{3}=300(p^{3}-3p^{2}+\frac{7}{2}p - 1)$。令$g(p)=p^{3}-3p^{2}+\frac{7}{2}p - 1$，则$g^{\prime}(p)=3p^{2}-6p+\frac{7}{2}=3(p - 1)^{2}+\frac{1}{2}＞0$，所以$g(p)$在区间$(0,\frac{2}{5})$上单调递增。所以$g(p)＜g(\frac{2}{5})=-\frac{2}{125}＜0$。所以$E(\xi)＜0$，这说明每盘游戏的平均得分是负分。由概率统计的相关知识可知，许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。