《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 若随机变量 $X$ 的分布列为

则 $D(X)$ 等于 (C)

A.$0.5$
B.$0.42$
C.$0.24$
D.$0.16$

答案： 1. C

2. (2024·郑州期末) 已知随机变量 $X$ 满足 $D(2 - 2X) = 4$，则下列结论正

确

的是 (B)

A.$D(X) = - 1$
B.$D(X) = 1$
C.$D(X) = 4$
D.$D(X) = 2$

答案： 2. B

3. (多选题)(2025·温州期中) 离散型随机变量 $X$ 的分布列为

若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2X + 1$，则下列说法正确的是 (ABC)

A.$m = 0.1$
B.$P(|X - 2| = 1) = 0.6$
C.$E(X) = 2,D(X) = 1.8$
D.$E(Y) = 5,D(Y) = 8.2$

答案： 3. ABC

4. (2025·广西期中) 若 $D(X) = 9$，则 $\sigma(X) =$ 3，$D(3X - 2) =$ 81.

答案： 4. 3 81

5. 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮. 已知每次投篮甲、乙两人投中的概率分别为 $\frac{1}{3},\frac{3}{4}$.
(1) 求第三次由乙投篮的概率；
(2) 在前 $3$ 次投篮中，乙投篮的次数为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列；
(3) 求 (2) 中 $\xi$ 的数学期望及标准差.

答案：
5. 解：
(1) 因为第三次由乙投篮包括第一次甲投中、第二次甲未投中和第一次甲未投中、第二次乙投中，所以第三次由乙投篮的概率为$\frac{1}{3} × \frac{2}{3} + \frac{2}{3} × \frac{3}{4} = \frac{13}{18} (2) $由题意可知，$\xi $的所有可能取值为 0,1,2，则$ P(\xi = 0) = \frac{1}{3} ×$
$\frac{1}{3} = \frac{1}{9}，$$P(\xi = 1) = \frac{1}{3} × \frac{2}{3} + \frac{2}{3} × \frac{1}{4} = \frac{7}{18}，$$P(\xi = 2) =$
$\frac{2}{3} × \frac{3}{4} = \frac{1}{2} $所以$ \xi $的分布列为

(3) 由
(2)知，$E(\xi) = 0 × \frac{1}{9} + 1 × \frac{7}{18} + 2 × \frac{1}{2} = \frac{25}{18}，$所以
$D(\xi) = (0 - \frac{25}{18})^2 × \frac{1}{9} + (1 - \frac{25}{18})^2 × \frac{7}{18} + (2 - \frac{25}{18})^2 ×$
$\frac{1}{2} = \frac{149}{324} $所以$ \sqrt{D(\xi)} = \frac{\sqrt{149}}{18}$

6. 已知随机变量 $\xi$ 的分布列为

随机变量 $\eta$ 的分布列为

则下列结论正确的是 (D)

A.$E(\xi) = E(\eta)$
B.当 $p$ 增大时, $E(\xi)$ 递减
C.$D(\xi) ＞ D(\eta)$
D.当 $p$ 增大时, $D(\eta)$ 递增

答案： 6. D

7. (2025·连云港期中) 已知随机变量 $X$ 满足：$P(X = x_i) = \frac{1}{n}(i = 1,2,·s,n)$，当 $i \leq n - 1$ 时，$x_i ＜ x_{i + 1}$，随机变量 $Y$ 的取值为 $y_1 = \frac{x_1 + x_2}{2},y_2 = \frac{x_2 + x_3}{2},·s,y_{n - 1} = \frac{x_{n - 1} + x_n}{2},y_n = \frac{x_n + x_1}{2}$，且 $P(Y = y_i) = \frac{1}{n}(i = 1,2,·s,n)$，则下列结论正确的是 (D)

A.$E(X) ＜ E(Y)$
B.$E(X) ＞ E(Y)$
C.$D(X) ＜ D(Y)$
D.$D(X) ＞ D(Y)$

答案： 7. D

8. (多选题)(2025·惠州阶段练习) 将 $x,x,y,y,z,z$ 填入 $2$ 行 $3$ 列的表格中，每格填一个字母. 若随机变量 $X$ 表示列字母相同的数量，则下列说法正确的是 (ABC)

A.$X$ 的所有可能取值有 $0,1,3$
B.$P(X = 0) = \frac{8}{15}$
C.$E(X) = \frac{3}{5}$
D.$D(X) = \frac{12}{25}$

答案： 8. ABC