《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 设有一正态总体，它的正态密度曲线是函数$f(x)$的图象，且$f(x)=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-\frac{(x - 10)^{2}}{8}}(x\in\mathbf{R})$，则这个正态总体的均值与标准差分别是
(B)

A.10 与 8
B.10 与 2
C.8 与 10
D.2 与 10

答案： 1. B

2. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$. 若$P(2 ＜ X ＜ 6)=0.6$，$P(X\geqslant6)=0.2$，则$\mu =$4.

答案： 2. 4

3. (2024·龙岩期中)已知某地生产的桂圆干是按包销售的，每包桂圆干的质量$M$(单位：g)服从正态分布$N(250,\sigma^{2})$，且$P(M\leqslant247)=0.1$.
(1) 求$P(247 ＜ M ＜ 253)$；
(2) 若从该地生产的桂圆干中随机选取 3 包，记质量在$247\sim253\ g$内的包数为$X$，求$P(X = 1)$及$D(X)$.

答案： 3. 解：
(1) 因为 $M$ 服从正态分布 $N(250, \sigma^2)$，$P(M \leq 247) = 0.1$，$\frac{247 + 253}{2} = 250$，所以 $P(M \geq 253) = P(M \leq 247) = 0.1$。所以 $P(247 ＜ M ＜ 253) = 1 - 0.1 × 2 = 0.8$。
(2) 根据题意，得 $X \sim B(3, 0.8)$。所以 $P(X = 1) = C_3^1 × 0.8 × (1 - 0.8)^2 = 0.096$，$D(X) = 3 × 0.8 × (1 - 0.8) = 0.48$。

4. (2025·台州期中)无人机的最大飞行距离是无人机性能的一个重要指标. 普宙 S200 系列是我国生产的一款民用无人机，其最大飞行距离$X$(单位：千米)满足$X\sim N(15,\sigma^{2})$. 记$P(X\geqslant15 - \sigma)=a$，$P(15 - \sigma ＜ X ＜ 15 + 3\sigma)=b$，若$\sigma$变小，则 (C)

A.$a$变大
B.$b$变小
C.$a + b$不变
D.$a - b$变小

答案： 4. C

5. 核心素养 直观想象 (多选题)设$X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，这两个正态密度曲线如图所示，则下列结论正确的是 (CD)


A.$\mu_{1}＞\mu_{2},\sigma_{1}＞\sigma_{2}$
B.$P(X＞\mu_{1})＜P(X＞\mu_{2})$
C.$\mu_{1}＜\mu_{2},\sigma_{1}＜\sigma_{2}$
D.$P(Y\leqslant\mu_{1})＜P(X\leqslant\mu_{2})$

答案： 5. CD

6. (多选题)已知某种袋装蔬菜种子每袋的质量$X$(单位：g)服从正态分布$N(300,9)$，则下列结论错误的是 (ABD)

A.$X$的标准差是 9
B.$P(297 ＜ X\leqslant303)\approx0.9545$
C.随机抽取 1 000 袋这种蔬菜种子，每袋质量(单位：g)落在区间$(294,303]$中的约有 819 袋
D.随机抽取 10 000 袋这种蔬菜种子，每袋质量小于 291 g 的不多于 14 袋

答案： 6. ABD

7. 已知随机变量$\xi\sim N(4,\sigma^{2})$，且$P(2 ＜ \xi ＜ 6)\approx0.6827$，则$\sigma =$2，$P(|\xi - 2| ＜ 4)\approx$0.84.

答案： 7. 2 0.84