《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

5. (2025·山西期中)已知随机变量$X\sim B(n,\frac{1}{3})$，且$D(X)=\frac{4}{3}$，则$E(9X + 2)$等于(D)

A.$10$
B.$16$
C.$18$
D.$20$

答案： 5.D

6. 甲、乙两名同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是$\frac{3}{5}$和$\frac{1}{3}$。在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两名同学都能正确解答该问题的概率为$\frac{3}{11}$。

答案： 6.$\frac{3}{11}$

7. 某公司在$2023$年年初将$200$万元用于投资，现有两个项目供选择。项目一：新能源汽车。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利$30\%$，也可能亏损$15\%$，且这两种情况发生的概率分别为$\frac{7}{9},\frac{2}{9}$。项目二：通信设备。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利$50\%$，可能损失$30\%$，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为$\frac{3}{5},\frac{1}{3},\frac{1}{15}$。
（1）针对以上两个投资项目，请你为该公司选择一个合理的项目进行投资；
（2）若市场预期不变，该公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），则大约在哪一年的年底总资产（利润$+$本金）可以翻两番（参考数据：$\lg 2\approx 0.3010,\lg 3\approx 0.4771$）？

答案：
7.解：
(1)若投资项目一，设获利$\xi_{1}$万元，则$\xi_{1}$的分布列为

所以$E(\xi_{1})=60×\frac{7}{9}+(-30)×\frac{2}{9}=40$.若投资项目二，设获利$\xi_{2}$万元，则$\xi_{2}$的分布列为

所以$E(\xi_{2})=100×\frac{3}{5}+0×\frac{1}{15}+(-60)×\frac{1}{3}=40$.所以$E(\xi_{1})=E(\xi_{2})$.因为$D(\xi_{1})=(60 - 40)^{2}×\frac{7}{9}+(-30 - 40)^{2}×\frac{2}{9}=1400$，$D(\xi_{2})=(100 - 40)^{2}×\frac{3}{5}+(0 - 40)^{2}×\frac{1}{15}+(-60 - 40)^{2}×\frac{1}{3}=5600$，所以$D(\xi_{1})\lt D(\xi_{2})$.因为项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥，所以建议该公司选择项目一进行投资。
(2)假设$n$年后的年底总资产可以翻两番.由题意，得$200×(1+\frac{40}{200})^{n}=800$，即$1.2^{n}=4$.两边取对数，得$n·\lg1.2=\lg4$.所以$n=\frac{2\lg2}{2\lg2+\lg3 - 1}\approx7.6106$.因为$2023 + 7 = 2030$，所以大约在$2030$年的年底总资产可以翻两番.