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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
18. 已知男、女生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，则女生有
2或3
人.
答案：
18.2或3
19. 写出$\sqrt{x^{3}}(1+\sqrt{x})^{8}$的展开式中一个有理项的系数:
8
.
答案：
19. 答案不唯一，如8
20. 设集合$A=\{(t_{1},t_{2},t_{3})|t_{i}\in\{-2,0,2\},i=1,2,3\}$，则集合A中满足条件“$1＜|t_{1}|+|t_{2}|+|t_{3}|＜6$”的元素个数为
18
.
答案：
20.18
21. 现有10块相同的巧克力，若每天至少吃一块，5天吃完，则有
126
种方法; 若每天至少吃一块，直到吃完为止，则有512
种方法.
答案：
21.126 512
22. 现有下列条件：① 第2项与第3项的二项式系数之比是$\frac{2}{5}$；② 第2项与第3项的系数之比的绝对值为$\frac{4}{5}$；③ 展开式中有且只有第4项的二项式系数最大. 请从中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
问题：已知在$(2x-\frac{1}{\sqrt{x}})^{n}$的展开式中，. 求：
(1) 展开式中的常数项，并指出是第几项;
(2) 展开式中的所有有理项.
问题：已知在$(2x-\frac{1}{\sqrt{x}})^{n}$的展开式中，. 求：
(1) 展开式中的常数项，并指出是第几项;
(2) 展开式中的所有有理项.
答案：
22.解:
(1) (2x - $\frac{1}{\sqrt{x}}$)$^{n}$的展开式的通项为$\mathrm{T}_{k + 1}$ = $\mathrm{C}_{n}^{k}$·(2x)$^{n - k}$·(-$\frac{1}{\sqrt{x}}$)$^{k}$ = (-1)$^{k}$2$^{n - k}$$\mathrm{C}_{n}^{k}$x$^{\frac{2n - 3k}{2}}$. 若选条件①：因为第2项与第3项的二项式系数分别为$\mathrm{C}_{n}^{1}$，$\mathrm{C}_{n}^{2}$，所以$\frac{\mathrm{C}_{n}^{1}}{\mathrm{C}_{n}^{2}}$ = $\frac{2}{5}$，即$\frac{n}{\frac{n(n - 1)}{2}}$ = $\frac{2}{5}$. 整理，得n$^{2}$ - 6n = 0，解得n = 0或n = 6. 因为n∈$\mathrm{N}^{*}$，所以n = 6. 若选条件②：因为第2项与第3项的系数分别为(-1)·2$^{n - 1}$$\mathrm{C}_{n}^{1}$，(-1)$^{2}$·2$^{n - 2}$$\mathrm{C}_{n}^{2}$，所以$\frac{(-1)·2^{n - 1}\mathrm{C}_{n}^{1}}{(-1)^{2}·2^{n - 2}\mathrm{C}_{n}^{2}}$ = $\frac{4}{5}$. 所以易得n = 6. 若选条件③：因为展开式中有且只有第4项的二项式系数最大，所以展开式共有7项，从而可知n = 6. 所以展开式的通项为$\mathrm{T}_{k + 1}$ = (-1)$^{k}$2$^{6 - k}$$\mathrm{C}_{6}^{k}$x$^{\frac{12 - 3k}{2}}$. 令$\frac{12 - 3k}{2}$ = 0，解得k = 4. 所以常数项为(-1)$^{4}$×2$^{6 - 4}$×$\mathrm{C}_{6}^{4}$ = 60，是第5项.
(2)由
(1) 知，展开式的通项为$\mathrm{T}_{k + 1}$ = (-1)$^{k}$2$^{6 - k}$$\mathrm{C}_{6}^{k}$x$^{\frac{12 - 3k}{2}}$. 要求有理项，则k = 0,2,4,6. 所以有理项分别为(-1)$^{0}$×2$^{6 - 0}$×$\mathrm{C}_{6}^{0}$x$^{\frac{12 - 3×0}{2}}$，(-1)$^{2}$×2$^{6 - 2}$×$\mathrm{C}_{6}^{2}$x$^{\frac{12 - 3×2}{2}}$，(-1)$^{4}$×2$^{6 - 4}$×$\mathrm{C}_{6}^{4}$x$^{\frac{12 - 3×4}{2}}$，(-1)$^{6}$×2$^{6 - 6}$×$\mathrm{C}_{6}^{6}$x$^{\frac{12 - 3×6}{2}}$，即为64x$^{6}$，240x$^{3}$，60，x$^{-3}$.
(1) (2x - $\frac{1}{\sqrt{x}}$)$^{n}$的展开式的通项为$\mathrm{T}_{k + 1}$ = $\mathrm{C}_{n}^{k}$·(2x)$^{n - k}$·(-$\frac{1}{\sqrt{x}}$)$^{k}$ = (-1)$^{k}$2$^{n - k}$$\mathrm{C}_{n}^{k}$x$^{\frac{2n - 3k}{2}}$. 若选条件①：因为第2项与第3项的二项式系数分别为$\mathrm{C}_{n}^{1}$，$\mathrm{C}_{n}^{2}$，所以$\frac{\mathrm{C}_{n}^{1}}{\mathrm{C}_{n}^{2}}$ = $\frac{2}{5}$，即$\frac{n}{\frac{n(n - 1)}{2}}$ = $\frac{2}{5}$. 整理，得n$^{2}$ - 6n = 0，解得n = 0或n = 6. 因为n∈$\mathrm{N}^{*}$，所以n = 6. 若选条件②：因为第2项与第3项的系数分别为(-1)·2$^{n - 1}$$\mathrm{C}_{n}^{1}$，(-1)$^{2}$·2$^{n - 2}$$\mathrm{C}_{n}^{2}$，所以$\frac{(-1)·2^{n - 1}\mathrm{C}_{n}^{1}}{(-1)^{2}·2^{n - 2}\mathrm{C}_{n}^{2}}$ = $\frac{4}{5}$. 所以易得n = 6. 若选条件③：因为展开式中有且只有第4项的二项式系数最大，所以展开式共有7项，从而可知n = 6. 所以展开式的通项为$\mathrm{T}_{k + 1}$ = (-1)$^{k}$2$^{6 - k}$$\mathrm{C}_{6}^{k}$x$^{\frac{12 - 3k}{2}}$. 令$\frac{12 - 3k}{2}$ = 0，解得k = 4. 所以常数项为(-1)$^{4}$×2$^{6 - 4}$×$\mathrm{C}_{6}^{4}$ = 60，是第5项.
(2)由
(1) 知，展开式的通项为$\mathrm{T}_{k + 1}$ = (-1)$^{k}$2$^{6 - k}$$\mathrm{C}_{6}^{k}$x$^{\frac{12 - 3k}{2}}$. 要求有理项，则k = 0,2,4,6. 所以有理项分别为(-1)$^{0}$×2$^{6 - 0}$×$\mathrm{C}_{6}^{0}$x$^{\frac{12 - 3×0}{2}}$，(-1)$^{2}$×2$^{6 - 2}$×$\mathrm{C}_{6}^{2}$x$^{\frac{12 - 3×2}{2}}$，(-1)$^{4}$×2$^{6 - 4}$×$\mathrm{C}_{6}^{4}$x$^{\frac{12 - 3×4}{2}}$，(-1)$^{6}$×2$^{6 - 6}$×$\mathrm{C}_{6}^{6}$x$^{\frac{12 - 3×6}{2}}$，即为64x$^{6}$，240x$^{3}$，60，x$^{-3}$.
23.
新定义 在$(1+x+x^{2})^{n}=D_{n}^{0}+D_{n}^{1}x+D_{n}^{2}x^{2}+·s+D_{n}^{r}x^{r}+D_{n}^{r+1}x^{r+1}+·s+D_{n}^{2n}x^{2n}$中，把$D_{n}^{0},D_{n}^{1},D_{n}^{2},·s,D_{n}^{2n}$叫做三项式系数.
(1) 当$n=2$时，写出三项式系数$D_{2}^{0},D_{2}^{1},D_{2}^{2},D_{2}^{3},D_{2}^{4}$的值;
(2) 在$(a+b)^{n}(n\in N^{*})$的展开式中，二项式系数可表示成如图所示的形式，则当$0＜n\leq4,n\in N^{*}$时，类比杨辉三角，请画出三项式系数图;
(3) 求$D_{2019}^{0}C_{2019}^{0}-D_{2019}^{1}C_{2019}^{1}+D_{2019}^{2}C_{2019}^{2}-D_{2019}^{3}C_{2019}^{3}+·s+D_{2018}^{2018}C_{2019}^{2018}-D_{2019}^{2019}C_{2019}^{2019}$的值(可用组合数作答).
新定义 在$(1+x+x^{2})^{n}=D_{n}^{0}+D_{n}^{1}x+D_{n}^{2}x^{2}+·s+D_{n}^{r}x^{r}+D_{n}^{r+1}x^{r+1}+·s+D_{n}^{2n}x^{2n}$中，把$D_{n}^{0},D_{n}^{1},D_{n}^{2},·s,D_{n}^{2n}$叫做三项式系数.
(1) 当$n=2$时，写出三项式系数$D_{2}^{0},D_{2}^{1},D_{2}^{2},D_{2}^{3},D_{2}^{4}$的值;
(2) 在$(a+b)^{n}(n\in N^{*})$的展开式中，二项式系数可表示成如图所示的形式，则当$0＜n\leq4,n\in N^{*}$时，类比杨辉三角，请画出三项式系数图;
(3) 求$D_{2019}^{0}C_{2019}^{0}-D_{2019}^{1}C_{2019}^{1}+D_{2019}^{2}C_{2019}^{2}-D_{2019}^{3}C_{2019}^{3}+·s+D_{2018}^{2018}C_{2019}^{2018}-D_{2019}^{2019}C_{2019}^{2019}$的值(可用组合数作答).
答案：
23.解:
(1)因为(1 + x + x$^{2}$)$^{2}$ = 1 + 2x + 3x$^{2}$ + 2x$^{3}$ + x$^{4}$，所以$\mathrm{D}_{2}^{0}$ = 1，$\mathrm{D}_{2}^{1}$ = 2，$\mathrm{D}_{2}^{2}$ = 3，$\mathrm{D}_{2}^{3}$ = 2，$\mathrm{D}_{2}^{4}$ = 1.
(2)当0 ＜ n ≤ 4，n∈$\mathrm{N}^{*}$时，三项式系数图如图所示.
(3) (1 + x + x$^{2}$)$^{2019}$·(x - 1)$^{2019}$ = ($\mathrm{D}_{2019}^{0}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{1}$x + $\mathrm{D}_{2019}^{2}$x$^{2}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{3}$x$^{3}$ + … + $\mathrm{D}_{2019}^{4037}$x$^{4037}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{4038}$x$^{4038}$)·($\mathrm{C}_{2019}^{0}$x$^{2019}$ - $\mathrm{C}_{2019}^{1}$x$^{2018}$ + $\mathrm{C}_{2019}^{2}$x$^{2017}$ - … + $\mathrm{C}_{2019}^{2018}$x - $\mathrm{C}_{2019}^{2019}$)，其中含x$^{2019}$项的系数为$\mathrm{D}_{2019}^{0}$$\mathrm{C}_{2019}^{2019}$ - $\mathrm{D}_{2019}^{1}$$\mathrm{C}_{2019}^{2018}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{2}$$\mathrm{C}_{2019}^{2017}$ - … + $\mathrm{D}_{2018}^{4038}$$\mathrm{C}_{2019}^{0}$. 又(1 + x + x$^{2}$)$^{2019}$·(x - 1)$^{2019}$ = (x$^{3}$ - 1)$^{2019}$，(x$^{3}$ - 1)$^{2019}$的展开式中第(r + 1)项为$\mathrm{T}_{r + 1}$ = (-1)$^{r}$$\mathrm{C}_{2019}^{r}$(x$^{3}$)$^{2019 - r}$，所以令3(2019 - r) = 2019，解得r = 1346. 所以含x$^{2019}$项的系数为(-1)$^{1346}$$\mathrm{C}_{2019}^{1346}$ = $\mathrm{C}_{2019}^{673}$. 所以$\mathrm{D}_{2019}^{0}$$\mathrm{C}_{2019}^{2019}$ - $\mathrm{D}_{2019}^{1}$$\mathrm{C}_{2019}^{2018}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{2}$$\mathrm{C}_{2019}^{2017}$ - … + $\mathrm{D}_{2018}^{4038}$$\mathrm{C}_{2019}^{0}$ = $\mathrm{C}_{2019}^{673}$.
23.解:
(1)因为(1 + x + x$^{2}$)$^{2}$ = 1 + 2x + 3x$^{2}$ + 2x$^{3}$ + x$^{4}$，所以$\mathrm{D}_{2}^{0}$ = 1，$\mathrm{D}_{2}^{1}$ = 2，$\mathrm{D}_{2}^{2}$ = 3，$\mathrm{D}_{2}^{3}$ = 2，$\mathrm{D}_{2}^{4}$ = 1.
(2)当0 ＜ n ≤ 4，n∈$\mathrm{N}^{*}$时，三项式系数图如图所示.
(3) (1 + x + x$^{2}$)$^{2019}$·(x - 1)$^{2019}$ = ($\mathrm{D}_{2019}^{0}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{1}$x + $\mathrm{D}_{2019}^{2}$x$^{2}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{3}$x$^{3}$ + … + $\mathrm{D}_{2019}^{4037}$x$^{4037}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{4038}$x$^{4038}$)·($\mathrm{C}_{2019}^{0}$x$^{2019}$ - $\mathrm{C}_{2019}^{1}$x$^{2018}$ + $\mathrm{C}_{2019}^{2}$x$^{2017}$ - … + $\mathrm{C}_{2019}^{2018}$x - $\mathrm{C}_{2019}^{2019}$)，其中含x$^{2019}$项的系数为$\mathrm{D}_{2019}^{0}$$\mathrm{C}_{2019}^{2019}$ - $\mathrm{D}_{2019}^{1}$$\mathrm{C}_{2019}^{2018}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{2}$$\mathrm{C}_{2019}^{2017}$ - … + $\mathrm{D}_{2018}^{4038}$$\mathrm{C}_{2019}^{0}$. 又(1 + x + x$^{2}$)$^{2019}$·(x - 1)$^{2019}$ = (x$^{3}$ - 1)$^{2019}$，(x$^{3}$ - 1)$^{2019}$的展开式中第(r + 1)项为$\mathrm{T}_{r + 1}$ = (-1)$^{r}$$\mathrm{C}_{2019}^{r}$(x$^{3}$)$^{2019 - r}$，所以令3(2019 - r) = 2019，解得r = 1346. 所以含x$^{2019}$项的系数为(-1)$^{1346}$$\mathrm{C}_{2019}^{1346}$ = $\mathrm{C}_{2019}^{673}$. 所以$\mathrm{D}_{2019}^{0}$$\mathrm{C}_{2019}^{2019}$ - $\mathrm{D}_{2019}^{1}$$\mathrm{C}_{2019}^{2018}$ + $\mathrm{D}_{2019}^{2}$$\mathrm{C}_{2019}^{2017}$ - … + $\mathrm{D}_{2018}^{4038}$$\mathrm{C}_{2019}^{0}$ = $\mathrm{C}_{2019}^{673}$.
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