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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. A，B，C，D4名同学接受采访，若要求A同学不第1个接受采访，B同学在C同学后面接受采访(可以不相邻)，则采访顺序的安排方式有
9
种.
答案：
10. 9
11.(1)将6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子中至少有一个小球，则有
(2)将6个各不相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子中至少有一个小球，则有
10
种不同的放法；(2)将6个各不相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子中至少有一个小球，则有
1560
种不同的放法.
答案：
11.
(1)10
(2)1560
(1)10
(2)1560
12. 已知$m,n,k\in\mathbf{N}^{*}$，$m\geq k\geq n$.求证：
（1）$ C_{m}^{k} C_{m - k}^{n}= C_{m}^{n} C_{m - n}^{k}$；
（2）$ C_{m}^{k} C_{k}^{n}= C_{m}^{n} C_{m - n}^{k - n}$.
（1）$ C_{m}^{k} C_{m - k}^{n}= C_{m}^{n} C_{m - n}^{k}$；
（2）$ C_{m}^{k} C_{k}^{n}= C_{m}^{n} C_{m - n}^{k - n}$.
答案：
12. 证明：
(1)因为$C_{m}^{n}C_{m - k}^{n - k} = \frac{m!}{k!(m - k)!} · \frac{(m - k)!}{n!(m - k - n)!} = \frac{m!}{k!n!(m - n - k)!}$，$C_{m}^{n}C_{m - n}^{k} = \frac{m!}{n!(m - n)!} · \frac{(m - n)!}{k!(m - n - k)!} = \frac{m!}{n!k!(m - n - k)!}$，所以$C_{m}^{n}C_{m - k}^{n - k} = C_{m}^{n}C_{m - n}^{k}$.
(2)因为$C_{k}^{k}C_{k}^{k} = \frac{m!}{k!(m - k)!}$，$\frac{k!}{n!(k - n)!} · \frac{(m - n)!}{(m - n)!} = \frac{m!}{n!(m - k)!(k - n)!}$，$C_{m}^{n}C_{m - n}^{k - n} = \frac{m!}{n!(m - n)!} · \frac{(m - n)!}{(k - n)!(m - k)!} = \frac{m!}{n!(m - k)!(k - n)!}$，所以$C_{m}^{k}C_{k}^{n} = C_{m}^{n}C_{m - n}^{k - n}$.
(1)因为$C_{m}^{n}C_{m - k}^{n - k} = \frac{m!}{k!(m - k)!} · \frac{(m - k)!}{n!(m - k - n)!} = \frac{m!}{k!n!(m - n - k)!}$，$C_{m}^{n}C_{m - n}^{k} = \frac{m!}{n!(m - n)!} · \frac{(m - n)!}{k!(m - n - k)!} = \frac{m!}{n!k!(m - n - k)!}$，所以$C_{m}^{n}C_{m - k}^{n - k} = C_{m}^{n}C_{m - n}^{k}$.
(2)因为$C_{k}^{k}C_{k}^{k} = \frac{m!}{k!(m - k)!}$，$\frac{k!}{n!(k - n)!} · \frac{(m - n)!}{(m - n)!} = \frac{m!}{n!(m - k)!(k - n)!}$，$C_{m}^{n}C_{m - n}^{k - n} = \frac{m!}{n!(m - n)!} · \frac{(m - n)!}{(k - n)!(m - k)!} = \frac{m!}{n!(m - k)!(k - n)!}$，所以$C_{m}^{k}C_{k}^{n} = C_{m}^{n}C_{m - n}^{k - n}$.
13. 某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》，他们的座位在同一排且连在一起.
（1）2名女教师相邻的坐法有多少种？
（2）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
（3）学校从这4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，则有多少种选派方法？
（1）2名女教师相邻的坐法有多少种？
（2）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？
（3）学校从这4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，则有多少种选派方法？
答案：
13. 解：
(1)将2名女教师看作一个元素，与4名男教师排在一起，共有$A_{5}^{2}A_{2}^{2} = 240$(种)坐法.
(2)先安排4名男教师，有$A_{4}^{4}$种坐法，再利用插空法安排2名女教师，有$A_{5}^{2}$种坐法，所以2名女教师互不相邻的坐法有$A_{4}^{4}A_{2}^{2} = 480$(种).
(3)选派的3名教师中有1名女教师和2名男教师的选法有$C_{2}^{1}C_{2}^{2} = 12$(种)，选派的3名教师中有2名女教师和1名男教师的选法有$C_{2}^{2}C_{2}^{1} = 4$(种)，所以选派的3名教师中至少要有1名女教师的选法有$12 + 4 = 16$(种).
(1)将2名女教师看作一个元素，与4名男教师排在一起，共有$A_{5}^{2}A_{2}^{2} = 240$(种)坐法.
(2)先安排4名男教师，有$A_{4}^{4}$种坐法，再利用插空法安排2名女教师，有$A_{5}^{2}$种坐法，所以2名女教师互不相邻的坐法有$A_{4}^{4}A_{2}^{2} = 480$(种).
(3)选派的3名教师中有1名女教师和2名男教师的选法有$C_{2}^{1}C_{2}^{2} = 12$(种)，选派的3名教师中有2名女教师和1名男教师的选法有$C_{2}^{2}C_{2}^{1} = 4$(种)，所以选派的3名教师中至少要有1名女教师的选法有$12 + 4 = 16$(种).
14. 核心素养$·$逻辑推理（2025·烟台段考）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数（用数字作答）？
（1）无重复数字的四位奇数；
（2）无重复数字且能被5整除的四位数；
（3）无重复数字且比1203大的四位数.
（1）无重复数字的四位奇数；
（2）无重复数字且能被5整除的四位数；
（3）无重复数字且比1203大的四位数.
答案：
14. 解：
(1)先排个位，有$C_{3}^{1}$种；再排千位，有$C_{4}^{1}$种；再排中间两位，有$A_{2}^{2}$种，所以由分步计数原理可知，共有$C_{3}^{1}C_{4}^{1}A_{2}^{2} = 144$(个)符合条件的数.
(2)符合要求的数可分为两类.第一类：当0在个位时，有$A_{5}^{3}$个；第二类：当5在个位时，有$A_{4}^{1}A_{2}^{2}$个，所以满足条件的四位数共有$A_{5}^{3} + A_{4}^{1}A_{2}^{2} = 108$(个).
(3)符合要求的比1203大的四位数可分为五类.第一类：形如2▢▢▢，3▢▢▢，4▢▢▢，5▢▢▢，共有$A_{4}^{1}A_{3}^{3}$个；第二类：形如13▢▢，14▢▢，15▢▢，共有$A_{3}^{1}A_{2}^{2}$个；第三类：形如124▢，125▢，共有$A_{2}^{1}A_{2}^{2}$个；第四类：形如123▢，共有$A_{3}^{1}$个；第五类：形如120▢，共有$A_{2}^{1}$个.由分类加法计数原理知，无重复数字且比1203大的四位数共有$A_{4}^{1}A_{3}^{3} + A_{3}^{1}A_{2}^{2} + A_{2}^{1}A_{2}^{2} + A_{3}^{1} + A_{2}^{1} = 287$(个).
(1)先排个位，有$C_{3}^{1}$种；再排千位，有$C_{4}^{1}$种；再排中间两位，有$A_{2}^{2}$种，所以由分步计数原理可知，共有$C_{3}^{1}C_{4}^{1}A_{2}^{2} = 144$(个)符合条件的数.
(2)符合要求的数可分为两类.第一类：当0在个位时，有$A_{5}^{3}$个；第二类：当5在个位时，有$A_{4}^{1}A_{2}^{2}$个，所以满足条件的四位数共有$A_{5}^{3} + A_{4}^{1}A_{2}^{2} = 108$(个).
(3)符合要求的比1203大的四位数可分为五类.第一类：形如2▢▢▢，3▢▢▢，4▢▢▢，5▢▢▢，共有$A_{4}^{1}A_{3}^{3}$个；第二类：形如13▢▢，14▢▢，15▢▢，共有$A_{3}^{1}A_{2}^{2}$个；第三类：形如124▢，125▢，共有$A_{2}^{1}A_{2}^{2}$个；第四类：形如123▢，共有$A_{3}^{1}$个；第五类：形如120▢，共有$A_{2}^{1}$个.由分类加法计数原理知，无重复数字且比1203大的四位数共有$A_{4}^{1}A_{3}^{3} + A_{3}^{1}A_{2}^{2} + A_{2}^{1}A_{2}^{2} + A_{3}^{1} + A_{2}^{1} = 287$(个).
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