《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同. 若用随机变量$X$表示任选 4 个球中红球的个数，则$X$服从超几何分布，其参数为 (A)

A.$N = 9$，$M = 4$，$n = 4$
B.$N = 9$，$M = 5$，$n = 5$
C.$N = 13$，$M = 4$，$n = 4$
D.$N = 14$，$M = 5$，$n = 5$

答案： 1.A

2. (2025·西安期中)一箱猕猴桃共有 20 个，其中有若干个为烂果(烂果率低于 50%)，从这一箱猕猴桃中任取 2 个，恰有 1 个烂果的概率为$\frac{42}{95}$，则这箱猕猴桃中烂果的个数为 (C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 2.C

3. (多选题)(2025·上海期中)下列随机事件中的随机变量$X$不服从超几何分布的是 (ABC)

A.将一枚硬币连续抛掷 3 次，记正面向上的次数为$X$
B.盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出一球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为$X$
C.某射手的射击命中率为 0.8，现对目标射击一次，记命中的次数为$X$
D.从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名，记选出女生的人数为$X$

答案： 3.ABC

4. (2024·滁州期中)一个袋子中共有 6 个除颜色外均相同的球，其中有 3 个红球和 3 个白球. 从中随机摸出 2 个球，设摸出白球的个数为$X$，则$3X + 2$的方差为$\frac{18}{5}$.

答案： 4.$\frac{18}{5}$

5. (2024·大同期中)从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量$X$表示所选 3 人中男生的人数.
(1) 求$X$的分布列、期望及方差；
(2) 设事件$A$为“抽取的 3 人中，既有男生，也有女生”，求事件$A$发生的概率.

答案：
5. 解：
(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.由题意，得$P(X=k)=\frac{C_{4}^{k}C_{3}^{3 - k}}{C_{7}^{3}}(k=0,1,2,3)，$则易得随机变量X的分布列为

所以$E(X)=0×\frac{1}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{4}{35}=\frac{12}{7}，$
$D(X)=(0 - \frac{12}{7})^{2}×\frac{1}{35}+(1 - \frac{12}{7})^{2}×\frac{12}{35}+(2 - \frac{12}{7})^{2}×\frac{18}{35}+(3 - \frac{12}{7})^{2}×\frac{4}{35}=\frac{24}{49}。$
$(2)P(A)=P(X=2)+P(X=1)=\frac{6}{7}，$即事件A发生的概率为$\frac{6}{7}。$

6. 端午节吃粽子是我国的传统习俗. 设一盘中装有 6 个粽子，其中蛋黄粽 4 个，豆沙粽 2 个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个.
(1) 求选取的 3 个粽子中至少有 1 个豆沙粽的概率；
(2) 用$X$表示取到的豆沙粽的个数，求$X$的分布列和数学期望.

答案：
6. 解：
(1)设选取的3个粽子中至少有1个豆沙粽为事件A，则$P(A)=\frac{C_{2}^{1}C_{2}^{2}+C_{2}^{2}C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}}=\frac{4}{5}。$
(2)根据题意，得X的所有可能取值为0,1,2,则$P(X=0)=\frac{C_{4}^{3}C_{2}^{0}}{C_{6}^{3}}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}，$
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}，$$P(X=2)=\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}，$
故X的分布列为

所以$E(X)=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1。$