《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 教材改编 P30 例 2(2) $(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^6$ 的展开式中的第 4 项是(C)

A.$-20$
B.$20$
C.$-160$
D.$160$

答案： 1.C

2. (多选题)已知在 $(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{2\sqrt[3]{x}})^n$ 的二项展开式中,第 6 项为常数项,则下列说法正确的是(ACD)

A.$n = 10$
B.展开式中的项数为 13
C.含 $x^2$ 的项的系数为 $\frac{45}{4}$
D.展开式中有理项的项数为 3

答案： 2.ACD

3. (2025·上海卷)在二项式 $(2x - 1)^5$ 的展开式中,$x^3$ 项的系数为80.

答案： 3.80

4. (2025·河东期中)$(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}})^6$ 的展开式的中间一项是20.

答案： 4.20

5. (1) 求 $(2x-\frac{3}{2x^2})^5$ 的展开式;
(2) 化简: $C_n^0(x + 1)^n - C_n^1(x + 1)^{n - 1} + C_n^2(x + 1)^{n - 2}-·s+(-1)^rC_n^r(x + 1)^{n - r}+·s+(-1)^nC_n^n$.

答案： 5.解：
(1)$\left( 2 x - \frac { 3 } { 2 x ^ { 2 } } \right) ^ { 5 } = \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 0 } ( 2 x ) ^ { 5 } + \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 1 } ( 2 x ) ^ { 4 } · \left( - \frac { 3 } { 2 x ^ { 2 } } \right) + \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 } ( 2 x ) ^ { 3 } \left( - \frac { 3 } { 2 x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 3 } ( 2 x ) ^ { 2 } \left( - \frac { 3 } { 2 x ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } +\mathrm { C } _ { 5 } ^ { 4 } ( 2 x ) · \left( - \frac { 3 } { 2 x ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } + \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 5 } \left( - \frac { 3 } { 2 x ^ { 2 } } \right) ^ { 5 } = 3 2 x ^ { 5 } - 1 2 0 x ^ { 2 } +\frac { 1 8 0 } { x } - \frac { 1 3 5 } { x ^ { 4 } } + \frac { 4 0 5 } { 8 x ^ { 7 } } - \frac { 2 4 3 } { 3 2 x ^ { 1 0 } } .$
(2)原式$= \mathrm { C } _ { n } ^ { 0 } ( x + 1 ) ^ { n } +\mathrm { C } _ { n } ^ { 1 } ( x + 1 ) ^ { n - 1 } · ( - 1 ) + \mathrm { C } _ { n } ^ { 2 } ( x + 1 ) ^ { n - 2 } ( - 1 ) ^ { 2 } + ·s + \mathrm { C } _ { n } ^ { n } ( x +1 ) ^ { n - r } ( - 1 ) ^ { r } + ·s + \mathrm { C } _ { n } ^ { n } ( - 1 ) ^ { n } = [ ( x + 1 ) + ( - 1 ) ] ^ { n } = x ^ { n }$.

6. 化简 $1 + 3x + 3x^2 + x^3$ 的结果为(B)

A.$x^4$
B.$(x + 1)^3$
C.$(x + 1)^4$
D.$(x - 1)^3$

答案： 6.B

7. (2025·北京顺义段考)对于 $(\sqrt{2}+x)^6$ 的展开式,下列说法正确的是(D)

A.$(\sqrt{2}+x)^6$ 的展开式共有 6 项
B.$(\sqrt{2}+x)^6$ 展开式中的第 4 项与 $(x+\sqrt{2})^6$ 的展开式中的第 4 项不同
C.$(\sqrt{2}+x)^6$ 的展开式中奇数项与偶数项的系数相等
D.$(\sqrt{2}+x)^6$ 的展开式中系数为有理数的项共有 4 项

答案： 7.D

8. 核心素养 逻辑推理 (多选题)对于 $(\frac{1}{x^2}+x^5)^n(n\in N^*)$,下列判断正确的是(BD)

A.对任意 $n\in N^*$,展开式中有常数项
B.存在 $n\in N^*$,使得展开式中有常数项
C.对任意 $n\in N^*$,展开式中不含 $x$ 项
D.存在 $n\in N^*$,使得展开式中含 $x$ 项

答案： 8.BD

9. (多选题)若 $(\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}x)^n$ 的展开式中恰有三项的系数为有理数,则 $n$ 的可能取值为(CD)

A.$9$
B.$10$
C.$12$
D.$15$

答案： 9.CD

10. (2024·晋城期末)将 $(1 + x)^n$ 的展开式中第 $m$ 项的系数记为 $A_{m,n}$,则 $A_{1,2}+A_{2,3}+A_{3,4}+·s+A_{9,10}=$165.

答案： 10.165

11. 已知在 $(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{\sqrt{x}})^n$ 的展开式中,第 9 项为常数项.
(1) $n$ 的值为10;
(2) 含 $x$ 的整数次幂的项有6个.

答案： 11.
(1)10
(2)6