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2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
13. (2024·广元期中)某高校举办运动会，数理学院有 10 名学生报名参加志愿服务工作，其中男生 6 名，女生 4 名，男、女学生中恰好各有 1 人可以兼任裁判，现打算从这 10 名学生中选择 4 名参加志愿服务工作.
(1) 共有多少种不同的选择方法？
(2) 若要求选中的志愿者中至少有 1 名裁判，则有多少种不同的选法？
(1) 共有多少种不同的选择方法？
(2) 若要求选中的志愿者中至少有 1 名裁判，则有多少种不同的选法？
答案：
13.解：
(1)从10名学生中选择4名参加志愿服务工作共
有$C_{10}^{4}=210$(种)不同的选择方法.
(2)根据题意知,
10名学生中男、女生各有1人可以兼任裁判,共2名裁
判.方法一:若仅选中1名裁判,则有$C_{2}^{1}C_{8}^{3}=112$(种)选
法.若选中2名裁判,则有$C_{2}^{2}C_{8}^{2}=28$(种)选法.所以选中的志愿者中至少有1名裁判的不同的选法有112+28=
140(种). 方法二:若没有裁判,则有$C_{8}^{4}=70$(种)选法.若
随机选择,则有$C_{10}^{4}=210$(种)选法.所以选中的志愿者中至少有1名裁判的不同的选法有210-70=140(种).
(1)从10名学生中选择4名参加志愿服务工作共
有$C_{10}^{4}=210$(种)不同的选择方法.
(2)根据题意知,
10名学生中男、女生各有1人可以兼任裁判,共2名裁
判.方法一:若仅选中1名裁判,则有$C_{2}^{1}C_{8}^{3}=112$(种)选
法.若选中2名裁判,则有$C_{2}^{2}C_{8}^{2}=28$(种)选法.所以选中的志愿者中至少有1名裁判的不同的选法有112+28=
140(种). 方法二:若没有裁判,则有$C_{8}^{4}=70$(种)选法.若
随机选择,则有$C_{10}^{4}=210$(种)选法.所以选中的志愿者中至少有1名裁判的不同的选法有210-70=140(种).
14. 已知集合 $ A=\{\mathrm{C}_{8}^{0}\}, B=\{\mathrm{C}_{8}^{1}, \mathrm{C}_{8}^{2}\}, C=\{\mathrm{C}_{8}^{4}, \mathrm{C}_{8}^{5}, \mathrm{C}_{8}^{6}\} $.若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则不同点的个数为
33
.
答案：
14.33
15. 核心素养 逻辑推理 (2024·宁波期末)
(1) 我们学过组合恒等式 $ \mathrm{C}_{n + 1}^{m}=\mathrm{C}_{n}^{m}+\mathrm{C}_{n}^{m - 1} $，实际上可以理解为 $ \mathrm{C}_{n + 1}^{m}=\mathrm{C}_{n}^{m} \mathrm{C}_{1}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{m - 1} \mathrm{C}_{1}^{1} $.请你利用这个观点快速求解：$ \mathrm{C}_{10}^{0} \mathrm{C}_{5}^{5}+\mathrm{C}_{10}^{1} \mathrm{C}_{5}^{4}+\mathrm{C}_{10}^{2} \mathrm{C}_{5}^{3}+\mathrm{C}_{10}^{3} \mathrm{C}_{5}^{2}+\mathrm{C}_{10}^{4} \mathrm{C}_{5}^{1}+\mathrm{C}_{10}^{5} \mathrm{C}_{5}^{0} $（计算结果用组合数表示）.
(2) 求证：$ \frac{1}{n} \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{1}{k} \mathrm{C}_{n - 1}^{k - 1} $.
(1) 我们学过组合恒等式 $ \mathrm{C}_{n + 1}^{m}=\mathrm{C}_{n}^{m}+\mathrm{C}_{n}^{m - 1} $，实际上可以理解为 $ \mathrm{C}_{n + 1}^{m}=\mathrm{C}_{n}^{m} \mathrm{C}_{1}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{m - 1} \mathrm{C}_{1}^{1} $.请你利用这个观点快速求解：$ \mathrm{C}_{10}^{0} \mathrm{C}_{5}^{5}+\mathrm{C}_{10}^{1} \mathrm{C}_{5}^{4}+\mathrm{C}_{10}^{2} \mathrm{C}_{5}^{3}+\mathrm{C}_{10}^{3} \mathrm{C}_{5}^{2}+\mathrm{C}_{10}^{4} \mathrm{C}_{5}^{1}+\mathrm{C}_{10}^{5} \mathrm{C}_{5}^{0} $（计算结果用组合数表示）.
(2) 求证：$ \frac{1}{n} \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{1}{k} \mathrm{C}_{n - 1}^{k - 1} $.
答案：
15.解：
(1)$C_{10}^{0}C_{5}^{5}+C_{10}^{1}C_{5}^{4}+C_{10}^{2}C_{5}^{3}+C_{10}^{3}C_{5}^{2}+C_{10}^{4}C_{5}^{1}+C_{10}^{5}C_{5}^{0}=C_{10}^{0}+4C_{10}^{2}+4C_{10}^{3}+6C_{10}^{0}+6C_{10}^{3}+4C_{10}^{10}+4C_{10}^{3}+C_{10}^{5}=C_{11}^{1}+4C_{11}^{2}+6C_{11}^{3}+4C_{11}^{4}+C_{11}^{5}=C_{11}^{3}+3C_{11}^{2}+3C_{11}^{3}+3C_{11}^{3}+3C_{11}^{4}+C_{11}^{5}=C_{12}^{2}+3C_{12}^{2}+3C_{12}^{12}+C_{12}^{5}=C_{12}^{2}+C_{12}^{2}+2C_{12}^{2}+2C_{12}^{2}+C_{12}^{2}+C_{12}^{5}=C_{13}^{3}+2C_{13}^{5}=C_{13}^{3}+C_{3}^{3}+C_{3}^{5}=C_{14}^{4}+C_{5}^{5}=C_{15}^{5}$.
(2)证明:$\frac{1}{n}C_{n}^{k}=\frac{1}{n}·\frac{A_{n}^{k}}{k!}=\frac{n}{n!k!}· A_{n-1}^{k-1}=\frac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}$.
(1)$C_{10}^{0}C_{5}^{5}+C_{10}^{1}C_{5}^{4}+C_{10}^{2}C_{5}^{3}+C_{10}^{3}C_{5}^{2}+C_{10}^{4}C_{5}^{1}+C_{10}^{5}C_{5}^{0}=C_{10}^{0}+4C_{10}^{2}+4C_{10}^{3}+6C_{10}^{0}+6C_{10}^{3}+4C_{10}^{10}+4C_{10}^{3}+C_{10}^{5}=C_{11}^{1}+4C_{11}^{2}+6C_{11}^{3}+4C_{11}^{4}+C_{11}^{5}=C_{11}^{3}+3C_{11}^{2}+3C_{11}^{3}+3C_{11}^{3}+3C_{11}^{4}+C_{11}^{5}=C_{12}^{2}+3C_{12}^{2}+3C_{12}^{12}+C_{12}^{5}=C_{12}^{2}+C_{12}^{2}+2C_{12}^{2}+2C_{12}^{2}+C_{12}^{2}+C_{12}^{5}=C_{13}^{3}+2C_{13}^{5}=C_{13}^{3}+C_{3}^{3}+C_{3}^{5}=C_{14}^{4}+C_{5}^{5}=C_{15}^{5}$.
(2)证明:$\frac{1}{n}C_{n}^{k}=\frac{1}{n}·\frac{A_{n}^{k}}{k!}=\frac{n}{n!k!}· A_{n-1}^{k-1}=\frac{1}{k}C_{n-1}^{k-1}$.
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