《2025年通成学典课时作业本高中数学选择性必修第三册人教版》

1. （2025·齐齐哈尔期中）为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的 800 名居民的得分（满分 100 分）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这 800 名居民得分数据的平均值 $\overline{x}$（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；
（2）结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分数据 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,81)$，其中 $\mu$ 近似为（1）中的样本平均值 $\overline{x}$，试估计得分超过 95.8 分的居民人数（结果精确到个位）；
（3）用频率估计概率，任选 2 名参加活动的居民，设 $Y$ 为得分超过 80 分的居民人数，求 $Y$ 的分布列和数学期望.
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$，则 $P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx0.6827$，$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$，$P(\mu - 3\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 3\sigma)\approx0.9973$.

答案：
1. 解：
(1) 由题意，得$\bar{x}=45×0.04+55×0.08+65×0.12+75×0.26+85×0.32+95×0.18=77.8$。
(2) 由
(1)，得$X\sim N(77.8,9^{2})$，则$P(X＞95.8)=P(X＞\mu + 2\sigma)=\frac{1 - P(\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu + 2\sigma)}{2}\approx0.02275$，所以估计得分超过$95.8$分的居民人数为$800×0.02275\approx18$。
(3) 用频率估计概率，从该小区任选$1$名居民，该居民得分超过$80$分的概率为$(0.032 + 0.018)×10 = 0.5$。所以该小区任选$2$名居民互不影响，则得分超过$80$分的居民人数$Y$可能的取值为$0$，$1$，$2$，且$Y\sim B(2,\frac{1}{2})$。所以$P(Y = k)=C_{2}^{k}×(\frac{1}{2})^{k}×(1 - \frac{1}{2})^{2 - k}$，$k = 0$，$1$，$2$，则$P(Y = 0)=C_{2}^{0}×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，$P(Y = 1)=C_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$P(Y = 2)=C_{2}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$。$Y$的分布列为

$E(Y)=0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{4}=1$。

2. （2025·哈尔滨阶段练习）某汽车销售公司为了提升业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求 $a$ 的值，并估计该公司这段时间内每日汽车销售量的第 60 百分位数.
（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机抽取 4 天，设每日汽车销售量（单位：辆）在 $[200,250)$ 内的天数为 $X$，在恰有 1 天的汽车销售量不超过 150 辆的条件下，求 $X$ 的分布列及数学期望.
（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥 $A - BCD$ 中，$\triangle BCD$，$\triangle ACD$ 均是边长为 2 的正三角形，$AB = \sqrt{3}$. 现从写有数字 1～8 的八个标签中随机选择两个分别贴在 $A$，$B$ 两个顶点上，记顶点 $A$，$B$ 上的数字分别为 $m$ 和 $n$，若 $E$ 为侧棱 $AB$ 上一个动点，满足 $\frac{|AE|}{|EB|} = \frac{m}{n}$，“二面角 $E - CD - A$ 大于 $\frac{\pi}{4}$”即为中奖，求中奖的概率.

答案：
2. 解：
(1) 由$(0.001 + 0.002 + 0.003 + 2a + 0.006)×50 = 1$，得$a = 0.004$。因为$(0.002 + 0.003 + 0.004)×50 = 0.45$，$(0.002 + 0.003 + 0.004 + 0.006)×50 = 0.75$，所以每日汽车销售量(单位：辆)的第$60$百分位数在$[150,200)$内，且约为$150+\frac{0.6 - 0.45}{0.75 - 0.45}×50 = 175$。
(2) 因为抽取的$1$天汽车销售量不超过$150$辆的概率为$0.45$，抽取的$1$天汽车销售量(单位：辆)在$[200,250)$内的概率为$0.2$，所以在恰有$1$天的汽车销售量不超过$150$辆的条件下，抽取的$1$天汽车销售量(单位：辆)在$[200,250)$内的概率为$p=\frac{0.2}{1 - 0.45}=\frac{4}{11}$。由题意，得$X$的值可以为$0$，$1$，$2$，$3$，则$P(X = 0)=C_{3}^{0}×(\frac{7}{11})^{3}=\frac{343}{1331}$，$P(X = 1)=C_{3}^{1}×\frac{4}{11}×(\frac{7}{11})^{2}=\frac{588}{1331}$，$P(X = 2)=C_{3}^{2}×(\frac{4}{11})^{2}×\frac{7}{11}=\frac{336}{1331}$，$P(X = 3)=C_{3}^{3}×(\frac{4}{11})^{3}=\frac{64}{1331}$。所以$X$的分布列为

所以$E(X)=3×\frac{4}{11}=\frac{12}{11}$。
(3) 如图，取$CD$的中点$F$，连接$BF$，$EF$，$AF$，$CE$，$DE$。因为$\triangle BCD$，$\triangle ACD$都是边长为$2$的等边三角形，所以$CD\perp BF$，$CD\perp AF$。又$BF$，$AF\subset$平面$ABF$，$BF\cap AF = F$，所以$CD\perp$平面$ABF$。因为$EF\subset$平面$ABF$，所以$CD\perp EF$。所以易得$\angle EFA$为二面角$E - CD - A$的平面角。在$\triangle ABF$中，易得$AB = BF = AF=\sqrt{3}$，所以$\angle BFA=\frac{\pi}{3}$。若$\angle EFA=\frac{\pi}{4}$，在$\triangle AEF$中，由正弦定理，得$\frac{m}{\sin\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sin\frac{5\pi}{12}}$，则$m=\frac{\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{5\pi}{12}}=\sqrt{3}-1$，此时$n=\sqrt{3}-(\sqrt{3}-1)=1$，则$\frac{m}{n}=\sqrt{3}+1$。所以要想中奖，须有$\frac{m}{n}＞\sqrt{3}+1$。由$m$，$n$是从数字$1\sim8$中随机选择的两个，所以基本事件有$A_{8}^{2}=56$(个)，满足$\frac{m}{n}＞\sqrt{3}+1$的基本事件$(m,n)$有$(8,1)$，$(8,2)$，$(7,1)$，$(7,2)$，$(6,1)$，$(6,2)$，$(5,1)$，$(4,1)$，$(3,1)$，共$9$个。所以中奖的概率为$\frac{9}{56}$。