《2026年学易优高考二轮总复习物理》

例 3
（2025·云南卷）如图所示，光滑水平面上有一个长为$L$、宽为$d$的长方体空绝缘箱，其四周紧固一电阻为$R$的水平矩形导线框，箱子与导线框的总质量为$M$。与箱子右侧壁平行的磁场边界平面如截面图中虚线$PQ$所示，边界右侧存在范围足够大的匀强磁场，其磁感应强度大小为$B$、方向竖直向下。$t = 0$时刻，箱子在水平向右的恒力$F$（大小未知）作用下由静止开始做匀加速直线运动，这时箱子左侧壁上距离箱底$h$处、质量为$m$的木块（视为质点）恰好能与箱子保持相对静止。箱子右侧壁进入磁场瞬间，木块与箱子分离；箱子完全进入磁场前某时刻，木块落到箱子底部，且箱子与木块均不反弹（木块下落过程中与箱子侧壁无碰撞）；木块落到箱子底部时即撤去$F$。运动过程中，箱子右侧壁始终与磁场边界平行，忽略箱壁厚度、箱子形变、导线粗细及空气阻力。木块与箱子内壁间的动摩擦因数为$\mu$，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为$g$。
（1）求$F$的大小；
（2）求$t = 0$时刻，箱子右侧壁距磁场边界的最小距离；
（3）若$t = 0$时刻，箱子右侧壁距磁场边界的距离为$s$（$s$大于（2）问中最小距离），求最终木块与箱子的速度大小。

答案： 例3 答案：见解析
解析：
(1)木块恰好与箱子保持相对静止，对木块受力分析水平方向上有$F_{N}=ma$
竖直方向上有$\mu F_{N}=mg$
对木块、绝缘箱、导线框整体由牛顿第二定律有$F=(M + m)a$
联立解得$F=\frac{(M + m)g}{\mu}$。
(2)由箱子右侧壁进入磁场瞬间木块与箱子分离可知，此时箱子与木块间无弹力，故木箱做减速运动或合力为零，当箱子右侧壁与磁场距离最小时箱子右侧壁进入磁场瞬间在水平方向上合力为零
此时$F = F_{安}=BId$
由法拉第电磁感应定律和欧姆定律有$I=\frac{E}{R}=\frac{Bvd}{R}$
从$t = 0$时刻到箱子右侧壁进入磁场瞬间这段运动过程，由运动学公式有$v^{2}=2ax$
联立解得箱子右侧壁距磁场边界的最小值$x=\frac{gR^{2}(M + m)^{2}}{2\mu d^{4}B^{4}}$。
(3)设箱子和木块进入磁场前瞬间的速度为$v_{0}$，由运动学公式有$v_{0}^{2}=2as$
木块与箱子分离后，在竖直方向做自由落体运动，设经过$t_{0}$时间落到箱子底部，有$h=\frac{1}{2}gt_{0}^{2}$
由于箱子内壁与木块间存在摩擦，故最终木块与箱子共速从箱子右侧壁进入磁场瞬间到最终木块与箱子共速这段运动过程中，对箱子、木块、导体框整体由动量定理有$Ft_{0}-F_{安}t_{1}=(M + m)(v_{t}-v_{0})$，其中$F_{安}t_{1}=BId· t_{1}=\frac{B^{2}d^{2}v_{t}}{R}=\frac{B^{2}d^{2}L}{R}$
联立解得最终木块与箱子速度$v_{t}=\sqrt{\frac{2gs}{\mu}+\frac{\sqrt{2gh}}{\mu}}-\frac{B^{2}d^{2}L}{(M + m)R}$。
当$\frac{g}{\mu}\sqrt{\frac{2\mu s}{g}+\sqrt{\frac{2h}{g}}}\geqslant\frac{B^{2}d^{2}L}{(M + m)R}$时，最终木块与箱子的速度大小为$v=\frac{g}{\mu}\sqrt{\frac{2\mu s}{g}+\sqrt{\frac{2h}{g}}}-\frac{B^{2}d^{2}L}{(M + m)R}$，
当$\frac{g}{\mu}\sqrt{\frac{2\mu s}{g}+\sqrt{\frac{2h}{g}}}＜\frac{B^{2}d^{2}L}{(M + m)R}$时，最终木块与箱子的速度大小为$v = 0$。