《2026年学易优高考二轮总复习物理》

[例 1] (2025·山东卷)
如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，$P$、$Q$分别为轨道的两个端点且位于同一高度，$P$处轨道的切线沿水平方向，$Q$处轨道的切线沿竖直方向。小物块$a$、$b$用轻弹簧连接置于光滑水平面上，$b$被锁定。一质量$m = \dfrac{1}{2} kg$的小球自$Q$点正上方$h = 2 m$处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从$P$点水平抛出，恰好击中$a$，与$a$粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到$F = 15 N$时，$b$解除锁定开始运动。已知$a$的质量$m_a = 1 kg$，$b$的质量$m_b = \dfrac{3}{4} kg$，方形物体的质量$M = \dfrac{9}{2} kg$，重力加速度大小$g = 10 m/s^2$，弹簧的劲度系数$k = 50 N/m$，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式$E_{p} = \dfrac{1}{2}kx^2$（$x$为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：

(1)小球到达$P$点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小$v_1$、$v_2$；
(2)弹簧弹性势能最大时，$b$的速度大小$v_b$及弹性势能的最大值$E_{pm}$。

答案： 例1 答案:见解析
解析:
(1)小球由静止下落至运动到P点的过程,小球与方形物体组成的系统在水平方向上不受外力,所以系统在水平方向上动量守恒,由动量守恒定律有$0 = mv_1 - Mv_2$
又系统除重力外无外力做功,所以系统机械能守恒,由机械能守恒定律有
$mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$
联立解得$v_1 = 6\ m/s$,$v_2 = \frac{2}{3}\ m/s$。
(2)从P点水平抛出后,小球做平抛运动,水平速度不变,小球与a的碰撞过程,在水平方向上动量守恒,由动量守恒定律有$mv_1 = (m + m_a)v_0$
解得$v_0 = 2\ m/s$
b刚解除锁定时,有$F = kx_0$
$x_0 = \frac{F}{k} = 0.3\ m$
小球与a的整体开始运动至b解除锁定的过程,由机械能守恒定律有$\frac{1}{2}(m + m_a)v_0^2 = \frac{1}{2}(m + m_a)v_a^2 + E_{p0}$
其中$E_{p0} = \frac{1}{2}kx_0^2$
联立解得b刚解除锁定时小球和a的速度大小$v_a = 1\ m/s$
b解除锁定后,a、b、小球和弹簧组成的整个系统动量与机械能均守恒,当a与b共速时,弹簧弹性势能最大,由动量守恒定律有$(m + m_a)v_a = (m + m_a + m_b)v_b$
解得$v_b = \frac{2}{3}\ m/s$
由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}(m + m_a)v_a^2 = \frac{1}{2}(m + m_a + m_b)v_b^2 + E_{pm}$
解得$E_{pm} = 2.5\ J$。