《2026年学易优高考二轮总复习物理》

例 7
如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场（垂直纸面向里），电场强度大小为 $ E $，磁感应强度大小为 $ B $。一质量为 $ m $、电荷量为 $ +q $ 的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力。将该粒子在 $ M $ 点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离 $ y_m $ 和运动过程中的最大速率 $ v_m $。

答案： 见解析
解析:方法一：动能定理 + 动量定理
带电粒子在运动中，只有静电力做功，其运动至最远时，静电力做功最多，此时速度最大，根据动能定理有$Eqy_{m} = \frac{1}{2}mv_{m}^{2}$ ①
以电场方向为y轴，垂直电场方向为x轴，则粒子沿y方向上的速度产生x方向的洛伦兹力，即$F_{洛x} = qBv_{y}$
取沿x方向运动一小段时间$\Delta t$，根据动量定理有$F_{洛x}\Delta t = qBv_{y}\Delta t = m\Delta v_{x}$
式中$v_{y}\Delta t$表示粒子沿y轴方向运动的距离。因此，等式两边对粒子从M点到第一次最远的过程求和有$qBy_{m} = mv_{m}$ ②
联立①②两式，解得$v_{m} = \frac{2E}{B}$，$y_{m} = \frac{2mE}{qB^{2}}$。
方法二：“配速法”
将粒子在M点由静止释放，其运动较为复杂，是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动是匀速圆周运动，我们就可以想方设法将其分解为匀速圆周运动。
粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度$v$和水平向左的速度$v$，其中水平向右的速度$v$对应的洛伦兹力与静电力平衡，即$Bqv = Eq$；因此，粒子的运动是水平向右速度为$v$的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为$v$的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨道半径$r = \frac{mv}{qB} = \frac{mE}{qB^{2}}$
所以$y_{m} = 2r = \frac{2mE}{qB^{2}}$，$v_{m} = 2v = \frac{2E}{B}$。

1. (多选)(2025·甘肃白银·模拟预测)如图甲所示，两块平行正对的金属板 $ PQ $、$ MN $ 水平放置，板间加上如图乙所示的交变电压 $ u_{OA} $($ U_0 $、$ t_0 $ 为已知量)，金属板右侧分布着垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为 $ m $、电荷量为 $ q $ 的带电粒子以大小为 $ v_0 $ 的初速度在 $ t = 0 $ 时刻从上极板左端边缘 $ P $ 处水平向右进入金属板间的电场内，然后从下极板右边缘 $ N $ 处水平进入磁场，最终恰好从下极板左边缘 $ M $ 处水平向左离开金属板，轨迹如图甲中虚线所示。忽略粒子所受的重力和极板的边缘效应，下列说法正确的是(ABD)


A.粒子带正电
B.粒子整个运动过程中的最大动能为 $ \frac{1}{2}(mv_0^2 + qU_0) $
C.金属板的长度为 $ \frac{1}{2}v_0t_0 $
D.匀强磁场的磁感应强度大小为 $ \frac{4mv_0}{qt_0}\sqrt{\frac{m}{qU_0}} $

答案： ABD
解析:粒子从t = 0时刻开始进入电场，由电场性质以及电场力可知粒子带正电，A正确；粒子在电场中运动时，电场力先对粒子做正功，再对粒子做负功，根据能量守恒定律可知，粒子的最大动能$E_{km} = \frac{1}{2}(mv_{0}^{2} + qU_{0})$，B正确；由运动轨迹可知，粒子先在电场中做加速运动的时间$\frac{1}{2}t_{0}$，再做减速运动的时间为$\frac{1}{2}t_{0}$，进入磁场中做半个周期的圆周运动，然后在电场中做加速运动的时间为$\frac{1}{2}t_{0}$，再做减速运动的时间为$\frac{1}{2}t_{0}$，最终从下极板边缘水平射出，粒子在电场中水平方向做匀速直线运动，故金属板的长度$L = v_{0}t_{0}$，C错误；设粒子在磁场中做圆周运动的半径为$R$，金属板间的距离$d = 2R$，粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律可得$qU_{0} = ma$，由运动学公式可得$R = \frac{1}{2}a(\frac{t_{0}}{2})^{2} = \frac{1}{2}·\frac{qU_{0}}{md}(\frac{t_{0}}{2})^{2}$，
联立解得$R = \frac{t_{0}}{4}\sqrt{\frac{qU_{0}}{m}}$，在匀强磁场中，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有$Bqv_{0} = \frac{mv_{0}^{2}}{R}$，解得磁感应强度大小$B = \frac{4mv_{0}}{qt_{0}}\sqrt{\frac{m}{qU_{0}}}$，D正确。故选ABD。