《2026年学易优高考二轮总复习物理》

例 6
如图甲所示，水平放置的平行金属板 $ P $ 和 $ Q $ 相距为 $ d $，两板间存在周期性变化的电场或磁场。$ P $、$ Q $ 间的电势差 $ U_{PQ} $ 随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度 $ B $ 随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。$ t = 0 $ 时刻，一质量为 $ m $、电荷量为 $ +q $ 的粒子（不计重力），以初速度 $ v_0 $ 由 $ P $ 板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，$ q $、$ m $、$ d $、$ v_0 $、$ U_0 $ 为已知量。
(1) 若仅存在交变电场，要使电荷飞到 $ Q $ 板时，速度方向恰好与 $ Q $ 板相切，求交变电场的周期 $ T $；
(2) 若仅存在匀强磁场，且满足 $ B_0 = \frac{2mv_0}{qd} $，粒子经一段时间恰能垂直打在 $ Q $ 板上（不考虑粒子反弹），求击中点到出发点的水平距离。

答案：

(1)$\sqrt{\frac{4md^{2}}{nqU_{0}}}(n = 1,2,3,·s)$　
(2)$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}d$
解析:
(1)当粒子飞到Q板时的速度方向恰与Q板相切时，竖直速度为零，设加速度为$a$，则$a = \frac{qU_{0}}{md}$
半个周期内，粒子向上运动的距离为$y = \frac{1}{2}a(\frac{T}{2})^{2}$
又$d = 2ny(n = 1,2,3,·s)$
联立得$T = \sqrt{\frac{4md^{2}}{nqU_{0}}}(n = 1,2,3,·s)$。
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为$r$的匀速圆周运动，则有$qv_{0}B_{0} = m\frac{v_{0}^{2}}{r}$
解得$r = \frac{1}{2}d$
要使粒子能垂直打到Q板上，粒子轨迹应如图所示，在交变磁场的前半周期，粒子轨迹的圆心角设为90° + $\theta$，
由几何关系得$r + 2r\sin\theta = d$
解得$\sin\theta = \frac{1}{2}$
则粒子打到上极板的位置距出发点的水平距离为$x = r - 2r(1 - \cos\theta) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}d$。