《2026年学易优高考二轮总复习物理》

2. （2025·江西鹰潭一模）在空间建立直角坐标系，坐标轴正方向如图所示。空间有磁感应强度为 $ B = 1 \, T $、方向垂直于纸面向里的磁场，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限（含 $ x $、$ y $ 轴）有电场强度为 $ E = 1 \, N/C $、方向竖直向下的电场。光滑 $ \frac{1}{4} $ 圆弧轨道圆心 $ O' $，半径为 $ R = 4 \, m $，圆弧轨道底端位于坐标轴原点 $ O $。质量为 $ m_1 = 1 \, kg $、带电荷量为 $ q_1 = -1 \, C $ 的小球 $ A $ 从 $ O' $ 处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到 $ O $ 点。质量为 $ m_2 = 4 \, kg $、带电荷量为 $ q_2 = 2 \, C $ 的小球 $ B $ 从与圆心 $ O' $ 等高处静止释放，与 $ A $ 同时运动到 $ O $ 点并发生完全非弹性碰撞，碰后生成小球 $ C $。小球 $ A $、$ B $、$ C $ 均可视为质点，所在空间无重力场作用。求：
(1) 小球 $ A $ 在 $ O' $ 处的初速度；
(2) 碰撞完成后瞬间，圆弧轨道对小球 $ C $ 的支持力；
(3) 小球 $ C $ 从 $ O $ 点飞出后的瞬间，将磁场方向改为竖直向上。分析 $ C $ 球在后续运动过程中，回到 $ y $ 轴时离 $ O $ 点的距离。

答案：
(1)2m/s　
(2)1.6N　
(3)10$n^{2}\pi^{2}m(n = 1,2,3,·s)$
解析:
(1)A从O'飞出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，半径为$r_{A} = \frac{R}{2}$
洛伦兹力提供向心力$q_{1}v_{1}B = m\frac{v_{1}^{2}}{r_{A}}$
联立整理得$v_{1} = \frac{q_{1}Br_{A}}{m_{1}}$
解得$v_{1} = 2m/s$。
(2)设B滑到O点的速度为$v_{2}$，由动能定理有$q_{2}ER = \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
解得$v_{2} = 2m/s$
A、B在O点发生完全非弹性碰撞，设碰后生成的C球速度为$v$，由动量守恒定律，有$m_{2}v_{2} - m_{1}v_{1} = (m_{1} + m_{2})v$
解得$v = \frac{6}{5}m/s$
在碰后瞬间，C球做圆周运动，设轨道对C支持力为$F_{N}$，C球带电荷量$q = q_{1} + q_{2}$
质量$m_{C} = m_{1} + m_{2}$
由$F_{N} - qE + qvB = m_{C}\frac{v^{2}}{R}$
解得$F_{N} = 1.6N$。
(3)C球从轨道飞出后，受到竖直向下的静电力和垂直纸面向外的洛伦兹力，在静电力作用下，C球在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，在水平方向做匀速圆周运动，每隔一个周期$T$，C球回到y轴上一次。
由$qvB = m_{C}\frac{v^{2}}{r_{C}}$及$T = \frac{2\pi r_{C}}{v}$
解得C球圆周运动周期$T = \frac{2\pi m_{C}}{qB}$
C球竖直方向加速度$a = \frac{qE}{m_{C}}$
C球回到y轴时离O点的距离$y = \frac{1}{2}a(nT)^{2}$
代入数据解得$y = 10n^{2}\pi^{2}m(n = 1,2,3,·s)$。