《2026年学易优高考二轮总复习物理》

[例 3] （2025·湖北卷）如图所示，两平行虚线 $MN$、$PQ$ 间无磁场。$MN$ 左侧区域和 $PQ$ 右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 $B$ 和 $2B$。一质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的带正电粒子从 $MN$ 左侧 $O$ 点以大小为 $v_0$ 的初速度射出，方向平行于 $MN$ 向上。已知 $O$ 点到 $MN$ 的距离为 $\frac{3mv_0}{2qB}$，粒子能回到 $O$ 点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求：

(1) 粒子在 $MN$ 左侧区域中运动轨迹的半径；
(2) 粒子在第一次和第二次经过 $PQ$ 时位置的间距；
(3) 粒子的运动周期。

答案：
例3　答案:
(1)$R=\frac{mv_{0}}{qB}$　
(2)$x=\frac{\sqrt{3}mv_{0}}{2qB}$　
(3)$\frac{5\pi m}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
解析:
(1)粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有$qv_{0}B=\frac{mv_{0}^{2}}{R}$
可得$R=\frac{mv_{0}}{qB}$。
(2)粒子在左侧磁场运动，设从$MN$射出时速度方向与$MN$的夹角为$\theta$，由于$O$到$MN$的距离$d=\frac{3mv_{0}}{2qB}$，结合$R=\frac{mv_{0}}{qB}$，根据几何关系可知$\theta=60^{\circ}$；
粒子在$MN$和$PQ$之间做匀速直线运动，所以粒子从$PQ$进入右侧磁场时与$PQ$的夹角$\theta=60^{\circ}$；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有$qv_{0}· 2B=\frac{mv_{0}^{2}}{R'}$
解得$R'=\frac{mv_{0}}{2qB}$
根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过$PQ$时位置的间距$x=\sqrt{3}R'=\frac{\sqrt{3}mv_{0}}{2qB}$。
(3)由图可知粒子在左边磁场运动的时间$t_{1}=\frac{2}{3}T_{1}=\frac{2}{3}×\frac{2\pi m}{qB}=\frac{4\pi m}{3qB}$
粒子在右边磁场运动的时间$t_{2}=\frac{1}{3}T_{2}=\frac{1}{3}×\frac{2\pi m}{2qB}=\frac{\pi m}{3qB}$
根据对称性可知粒子在$MN$左侧进出磁场的距离$x_{0}=\sqrt{3}R=\frac{\sqrt{3}mv_{0}}{qB}$
粒子在$MN$和$PQ$之间运动的时间$t_{3}=\frac{2l}{v_{0}}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
综上可知粒子完成完整运动回到$O$点的周期为$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}=\frac{5\pi m}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}$。