《2026年学易优高考二轮总复习物理》

例 5
（2025·江苏南通一模）如图甲所示，$ xOy $ 平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图乙所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里、电场强度的正方向为 $ +y $ 方向。$ t = 0 $ 时刻，一电荷量为 $ +q $、质量为 $ m $ 的粒子从坐标原点 $ O $ 以初速 $ v_0 $ 沿 $ x $ 轴正方向入射（不计粒子重力）。$ B - t $ 图像中 $ B_0 = \frac{2\pi m}{qt_0} $，$ E - t $ 图像中 $ E_0 = \frac{mv_0}{qt_0} $。求：
(1) $ \frac{t_0}{4} $ 时刻粒子的坐标；
(2) $ 0 \sim 4t_0 $ 时间段内粒子速度沿 $ x $ 轴负方向的时刻；
(3) $ 0 \sim 7t_0 $ 时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。

答案：

(1)$(\frac{v_{0}t_{0}}{2\pi},\frac{v_{0}t_{0}}{2\pi})$　
(2)$\frac{1}{2}t_{0}$和$\frac{19}{8}t_{0}$
(3)$(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2\pi} + \frac{1}{2\pi})v_{0}t_{0}$
解析:
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有$qv_{0}B_{0} = m\frac{v_{0}^{2}}{r_{1}}$
又周期$T = \frac{2\pi r_{1}}{v_{0}}$，$B_{0} = \frac{2\pi m}{qt_{0}}$
解得$T = t_{0}$，$r_{1} = \frac{v_{0}t_{0}}{2\pi}$
所以$\frac{t_{0}}{4}$时刻粒子坐标为$(\frac{v_{0}t_{0}}{2\pi},\frac{v_{0}t_{0}}{2\pi})$。
(2)粒子在0～4$t_{0}$时间内的运动轨迹如图所示
在2$t_{0}$时刻，$v_{y} = at_{0} = \frac{qE_{0}}{m}t_{0} = \frac{q_{0}}{m}\frac{mv_{0}}{qt_{0}} = v_{0}$，$v = \sqrt{2}v_{0}$，可知在2$t_{0}$时刻粒子的速度方向与 + x方向的夹角为45°，此后，根据左手定则可知粒子沿逆时针方向运动，当粒子的速度方向偏转135°时速度沿 - x方向。
0～4$t_{0}$时间内粒子速度沿x轴负方向的时刻为$t_{1} = \frac{1}{2}t_{0}$和$t_{2} = 2t_{0} + \frac{3}{8}t_{0} = \frac{19}{8}t_{0}$。
(3)根据运动的对称性和匀变速运动的规律可得$t_{0}$～2$t_{0}$、3$t_{0}$～4$t_{0}$、5$t_{0}$～6$t_{0}$时间内粒子沿y轴方向的位移均为$y_{0} = \frac{1}{2}v_{0}t_{0}$
6$t_{0}$时刻与2$t_{0}$时刻粒子的速度相同
6$t_{0}$～7$t_{0}$时间内粒子沿y轴方向的最大位移$y_{max} = (1 + \cos45^{\circ})r_{2}$
洛伦兹力提供粒子在磁场中运动的向心力$qvB_{0} = m\frac{v^{2}}{r_{2}}$
解得$r_{2} = \frac{mv}{qB_{0}} = \frac{\sqrt{2}}{2\pi}v_{0}t_{0}$
综上所述可得$y_{m} = 3y_{0} + y_{max} = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2\pi} + \frac{1}{2\pi})v_{0}t_{0}$。