《2026年学易优高考二轮总复习物理》

例 1
（2025·安徽皖南八校联考）如图所示的平面直角坐标系 $ xOy $，在第一象限内有平行于 $ y $ 轴的匀强电场，方向沿 $ y $ 轴正方向；在第四象限的等边三角形 $ abc $ 区域内有匀强磁场，方向垂直于 $ xOy $ 平面向里，等边三角形边长为 $ L $，且 $ ab $ 边与 $ y $ 轴平行。一质量为 $ m $、电荷量为 $ q $ 的粒子，从 $ y $ 轴上的 $ P(0, h) $ 点，以大小为 $ v_0 $ 的速度沿 $ x $ 轴正方向射入电场，通过电场后从 $ x $ 轴上的 $ a $ 点 $ (2h, 0) $ 进入第四象限，经过磁场后又从 $ y $ 轴上的某点进入第三象限，且速度方向与 $ y $ 轴负方向成 $ 45° $ 角，不计粒子所受的重力。求：
(1) 电场强度 $ E $ 的大小；
(2) $ abc $ 区域内磁场的磁感应强度 $ B $ 的最小值；
(3) 粒子从 $ P $ 点出发到回到 $ y $ 轴上所用时间的最大值。

答案：

(1)$\frac{mv_{0}^{2}}{2qh}$　
(2)$\frac{2mv_{0}}{qL}$　
(3)$\frac{16h + \pi L}{4v_{0}}$
解析:
(1)带电粒子在电场中做类平抛运动
x轴方向有2h = $v_{0}t$
y轴方向有h = $\frac{1}{2}at^{2}$
又$a = \frac{qE}{m}$，解得$E = \frac{mv_{0}^{2}}{2qh}$。
(2)粒子到达a点时，沿y轴负方向的分速度为$v_{y} = at = v_{0}$ 则粒子到达a点时的速度大小为$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{2}v_{0}$，方向与x轴正方向成45°角。粒子在磁场中做匀速圆周运动，当粒子从b点射出时，半径最大，磁场的磁感应强度有最小值，运动轨迹如图所示
由牛顿第二定律得$qvB_{min} = m\frac{v^{2}}{r_{max}}$
由几何知识得$r_{max} = \frac{\sqrt{2}}{2}L$
解得$B_{min} = \frac{2mv_{0}}{qL}$。
(3)结合
(1)
(2)分析可知，粒子在电场中的运动时间为$t_{1} = \frac{2h}{v_{0}}$
在磁场中运动的最长时间为$t_{2} = \frac{\theta}{2\pi}T$
又$T = \frac{2\pi m}{qB_{min}}$
由轨迹图可知$\theta = \frac{\pi}{2}$
解得$t_{2} = \frac{\pi L}{4v_{0}}$
粒子出磁场后做匀速直线运动，x轴方向分速度与粒子在电场中的x轴方向分速度大小相等，则有$t_{3} = t_{1}$
粒子从P点出发到回到y轴上所用时间的最大值为$t = t_{1} + t_{2} + t_{3} = \frac{16h + \pi L}{4v_{0}}$。