《2026年学易优高考二轮总复习物理》

1. (2025·福建三明市一模)
如图所示，在 $Oxyz$ 三维坐标系中，$y ＞ 0$ 空间一侧有沿 $y$ 轴负方向的匀强电场，$y ＜ 0$ 空间一侧有沿 $y$ 轴负方向的匀强磁场。一带正电粒子以速度 $v_0$ 从 $x$ 轴上的 $A$ 点 $(-d, 0)$ 处在 $xOy$ 平面内沿与 $x$ 轴正方向成 $37^{\circ}$ 角射入电场中，已知粒子质量为 $m$，电荷量为 $q$，粒子恰好经过 $O$ 点，磁感应强度大小为 $B = \frac{mv_0}{qd}$，$\sin 37^{\circ} = 0.6$，$\cos 37^{\circ} = 0.8$，粒子的重力忽略不计，求：

(1)匀强电场的电场强度 $E$；
(2)粒子射入电场开始计时，第 $n$ 次经过 $y$ 轴的时刻。

答案：
(1)$\frac{24mv_{0}^{2}}{25qd}$　
(2)$\frac{5d + 8πd(n - 1)}{4v_{0}}(n = 1,2,3·s)$
解析:
(1)粒子在电场中做类斜抛运动，
则有$d = v_{0} \cos 37^{\circ} · t_{1}$
沿电场方向有$-v_{0} \sin 37^{\circ} = v_{0} \sin 37^{\circ} - at_{1}$
又$qE = ma$
解得$E = \frac{24mv_{0}^{2}}{25qd}$，$t_{1} = \frac{5d}{4v_{0}}$。
(2)粒子进入磁场后，在垂直$y$轴的平面做匀速圆周运动，在$y$轴上沿$y$轴负方向做匀速直线运动，则有$qBv_{0} \cos 37^{\circ} = m\frac{(v_{0} \cos 37^{\circ})^{2}}{R}$
又$T = \frac{2πR}{v_{0} \cos 37^{\circ}} = \frac{2πd}{v_{0}}$
则粒子射入电场开始计时，第$n$次经过$y$轴的时刻$t_{2} = t_{1} + (n - 1)T(n = 1,2,3·s)$
解得$t_{2} = \frac{5d + 8πd(n - 1)}{4v_{0}}(n = 1,2,3·s)$。

2. (2025·山西朔州市二模)
如图所示，一足够长的长方体 $O_1a_1b_1c_1 - O_3a_3b_3c_3$ 被正方形 $O_2a_2b_2c_2$ 分成上下两个长方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，以 $O_1$ 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $O_1 - xyz$，其中 $O_1a_1 = O_1c_1 = O_2O_3 = 4L$。整个长方体空间存在沿 $z$ 轴负方向的匀强电场(图中未画出)，另外空间Ⅱ内同时还存在沿 $z$ 轴正方向的匀强磁场(图中未画出)，一质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的带正电的粒子从 $O_3c_3$ 边的中点 $P$ 以初速度 $v_0$ 平行于 $y$ 轴正方向射入长方体区域，粒子恰好经过正方形 $O_2a_2b_2c_2$ 的中心点 $Q$，且粒子在空间Ⅱ内运动的过程中，恰好未从长方体侧面飞出长方体区域，不计粒子重力，求：

(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子经过 $Q$ 点时的动能；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小。

答案：

(1)$\frac{2mv_{0}^{2}}{qL}$　
(2)$\frac{17}{2}mv_{0}^{2}$　
(3)$\frac{mv_{0}}{qL}$
解析:
(1)带正电粒子在空间Ⅰ中做类平抛运动，运动轨迹如图
则$2L = v_{0}t_{1}$
$4L = \frac{1}{2}at_{1}^{2}$

由牛顿第二定律$qE = ma$
联立可得，匀强电场的电场强度大小为$E = \frac{2mv_{0}^{2}}{qL}$。
(2)在空间Ⅰ中，由动能定理$qE × 4L = E_{k} - \frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
解得粒子经过$Q$点时的动能为$E_{k} = \frac{17}{2}mv_{0}^{2}$。
(3)粒子进入空间Ⅱ中速度为$v = \sqrt{\frac{2E_{k}}{m}} = \sqrt{17}v_{0}$
将速度$v$分解为沿$y$轴速度$v_{0}$和沿$z$轴速度$4v_{0}$，由于$z$轴速度方向与磁场平行，不受洛伦兹力，在$xO_{1}y$平面内的$y$轴方向有洛伦兹力提供向心力$qv_{0}B = m\frac{v_{0}^{2}}{r}$
由几何关系可知$r = L$

可得匀强磁场的磁感应强度大小为$B = \frac{mv_{0}}{qL}$。